Заглавная страница

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="ru">
  <siteinfo>
    <sitename>Викиконспекты ПМ-ПУ</sitename>
    <dbname>apmath_info_db</dbname>
    <base>https://apmath.info/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0</base>
    <generator>MediaWiki 1.36.2</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Медиа</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Служебная</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Обсуждение</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Участник</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Обсуждение участника</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Викиконспекты ПМ-ПУ</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Обсуждение Викиконспекты ПМ-ПУ</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Файл</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Обсуждение файла</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Обсуждение MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Шаблон</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Обсуждение шаблона</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Справка</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Обсуждение справки</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Категория</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Обсуждение категории</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
<page arvcontinue="">
  <title>Заглавная страница</title>
  <ns>0</ns>
  <id>1</id>
  <revision>
    <id>1</id>
    <timestamp>2021-10-21T11:02:10Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>MediaWiki default</username>
      <id>2</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="1035" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>2</id>
    <parentid>1</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T18:44:19Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="177" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>3</id>
    <parentid>2</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T19:03:13Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="3960" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>5</id>
    <parentid>3</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T19:19:30Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="3873" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Алгебра и геометрия</title>
  <ns>0</ns>
  <id>2</id>
  <revision>
    <id>4</id>
    <timestamp>2021-10-21T19:18:36Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: « == Полиномы и их корни == * [[Комплексные числа]] * [[Теорема Безу]] * [[Схема Горнера]] * Разлож...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8713" xml:space="preserve">
== Полиномы и их корни ==
* [[Комплексные числа]]
* [[Теорема Безу]]
* [[Схема Горнера]]
* [[Разложение полинома на множители]]
* [[Наибольший общий делитель полиномов]]
* [[Полиномы с вещественными коэффициентами]]
* [[Рациональные дроби]]

== Матрицы и определители ==
* [[Матрицы и операции с ними]]
* [[Определители второго и третьего порядка]]
* [[Перестановки]]
* [[Определители порядка n]]
* [[Алгебраические дополнения и миноры]]
* [[Определитель ступенчатой матрицы]]
* [[Блочные матрицы]]
* [[Определитель произведения двух матриц]]
* [[Обратная матрица]]
* [[Ортогональные матрицы]]
* [[Характеристический полином матрицы]]

== Линейные пространства ==
*[[Линейные операции над векторами]]
* [[Линеал]]
* [[Линейная зависимость и независимость векторов]]
* [[Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве]]
* [[Базис и размерность линеала]]
* [[Ранг матрицы]]
* [[Изоморфизм линеалов]]
* [[Аффинные пространства]]
* [[Аффинные системы координатa]]
* [[Геометрический смысл аффинных координат]]
* [[Декартовые прямоугольные системы координат]]
* [[Полярная система координат]]
* [[Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Сферические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Деление вектора в заданном отношении]]
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Евклидовы, нормированные и метрические пространства]]
* [[Векторное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение трех векторов]]
* [[Двойное векторное произведение]]
== Системы линейных уравнений ==
* [[Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений]]
* [[Системы линейных уравнений с квадратной матрицей]]
* [[Структура общего решения однородной системы линейных уравнений]]
* [[Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений]]
* [[Метод Гаусса]]
* [[Геометрический смысл систем линейных уравнений]]
* [[Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости]]
* [[Геометрический смысл систем линейных неравенств]]
* [[Нормированное уравнение плоскости (прямой)]]
* [[Пучки плоскостей (прямых на плоскости)]]
* [[Взаимное расположение прямых и плоскостей]]

== Квадратичные формы ==
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду]]
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования]]
* [[Положительно определенные квадратичные формы]]
* [[Закон инерции]]
* [[Собственные значения и собственные векторы матрицы]]
* [[Подобные матрицы]]
* [[Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду]]
* [[Унитарные матрицы]]
* [[Эрмитовы формы]]

== Преобразование координат ==
* [[Преобразование декартовых прямоугольных координат]]
* [[Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве]]
* [[Преобразование аффинных координат]]
* [[Линии и поверхности второго порядка]]
* [[Алгебраические линии и поверхности]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах]]
* [[Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду]]
* [[Классификация линий второго порядка]]
* [[Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат]]
* [[Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов]]
* [[Поверхности вращения]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Гиперболоиды]]
* [[Параболоиды]]
* [[Цилиндрические поверхности]]
* [[Конические поверхности]]

== Элементы общей теории кривых и поверхностей ==
* [[Векторная функция скалярного аргумента]]
* [[Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции]]
* [[Понятие кривой]]
* [[Касательная к кривой]]
* [[Нормальная плоскость кривой]]
* [[Соприкасающаяся плоскость кривой]]
* [[Спрямляющая плоскость кривой]]
* [[Нормаль]]
* [[Главная нормаль]]
* [[Бинормаль]]
* [[Длина дуги кривой]]
* [[Естественная параметризация]]
* [[Кривизна кривой]]
* [[Кручение кривой]]
* [[Формулы Френе]]
* [[Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника]]
* [[Натуральные уравнения кривой]]
* [[Понятие поверхности]]
* [[Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности]]
* [[Первая квадратичная форма]]
* [[Длина дуги кривой на поверхности]]
* [[Угол между кривыми на поверхности]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Вторая квадратичная форма поверхности]]
* [[Кривизна кривой, лежащей на поверхности]]

== Геометрическая структура систем линейных уравнений ==
* [[Линейные подпространства]]
* [[Сумма и пересечение линейных подпространств]]
* [[Многомерные плоскости]]
* [[Взаимное расположение многомерных плоскостей]]

== Геометрическая структура систем линейных неравенств ==
* [[Выпуклые множества]]
* [[Выпуклые конусы]]
* [[Отделимость выпуклых множеств]]
* [[Конечные конусы]]
* [[Выпуклое многогранное множество]]
* [[Грани многогранного множества]]
* [[Параметрическое уравнение многогранного множества]]
* [[Геометрия задачи линейного программирования]]</text>
    <sha1>1115256b38c5799f24ac6ef38cad1da71f01fab7</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Шаблон:Теорема</title>
  <ns>10</ns>
  <id>3</id>
  <revision>
    <id>6</id>
    <timestamp>2021-10-21T20:17:33Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;noinclude&gt; Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]: &lt;pre&gt; {{Теорема |id=идентификатор (не...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1398" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="border-bottom:1px solid #00A; width:100%; margin: 10px; padding:4px; background-color: #fdfdfd; padding-left:10px;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;tex&gt;\blacksquare&lt;/tex&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>383857feeca685f6cef0d2c5449b3846d9a3c169</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>19</id>
    <parentid>6</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T21:23:07Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1400" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="border-bottom:1px solid #00A; width:100%; margin: 10px; padding:4px; background-color: #fdfdfd; padding-left:10px;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>b05e0efdc582268473031be5ea2fad20b663a50a</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>23</id>
    <parentid>19</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T22:02:10Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1402" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="border-bottom:1px solid #00A; width:100%; background-color: #fdfdfd;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>173f088c05cfd49338bfee3539ebfccc7fac5550</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>28</id>
    <parentid>23</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T22:44:49Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1498" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #333366;"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="border-bottom:1px solid #00A; width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #333366;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #333366;"&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>9b680fea33a1cd345ff6b442805d57a521ebad59</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>30</id>
    <parentid>28</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T22:52:44Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1468" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #3333cc;"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #3333cc;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;"&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>7db2ca671e882986c4918f12cf5b6ebdb4059f12</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>32</id>
    <parentid>30</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T23:05:59Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1480" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #3333cc;"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #3333cc;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>370357e2767e32ed6075cf203d89757263a78504</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>34</id>
    <parentid>32</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T23:10:58Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1462" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #3333cc;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>447ebbfb44a8f6a169000efbaacbbf9f34bd3dd6</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>39</id>
    <parentid>34</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T08:45:12Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1497" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #3333cc;padding-top:5px;padding-bottom:5px;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>1453a5be688b31f520182dedad64e40eb44949f2</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Скалярное произведение векторов</title>
  <ns>0</ns>
  <id>5</id>
  <revision>
    <id>10</id>
    <timestamp>2021-10-21T20:33:30Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |id=def1 |definition= ''Скалярным произведением'' $\vec{a}\cdot \vec{b}$ двух векторов $\vec{a}$ и $\v...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="363" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Скалярным произведением'' $\vec{a}\cdot \vec{b}$ двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их модулей и косинуса угла между ними, то есть
\vec{a}\cdot \vec{b}= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \varphi . 
}}</text>
    <sha1>f47a66e3a4e4f103fc0fab4ec94204d96608dc57</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>11</id>
    <parentid>10</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T20:44:28Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="426" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Скалярным произведением'' &lt;math&gt;\vec{a}\cdot \vec{b}&lt;/math&gt; двух векторов &lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\vec{b}&lt;/math&gt; называется произведение их модулей и косинуса угла между ними, то есть &lt;math&gt;\vec{a}\cdot \vec{b}= \mid \vec{a} \mid \cdot \mid \vec{b} \mid \cos \varphi&lt;/math&gt;. 
}}</text>
    <sha1>46357d2a14d7527e43e632796695e0ed9f5d934a</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Шаблон:Определение</title>
  <ns>10</ns>
  <id>6</id>
  <revision>
    <id>17</id>
    <timestamp>2021-10-21T21:01:48Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;noinclude&gt; Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]: &lt;pre&gt; {{Определение |id=иден...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1009" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div style="width:100%;&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;padding: 4px; background-color: #fcfcfc;"&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>d4c81c1ce3b4bd353bf724691ac708d3b71cf91b</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>18</id>
    <parentid>17</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T21:07:57Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1013" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>548034dc54c69f65e69a842bad97f8e0417b8e9e</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>26</id>
    <parentid>18</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T22:40:43Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1075" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";border-left:3px solid #336633;"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #336633;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>c5641664a4399fe0bf6cbf2f073ca58698da1178</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>33</id>
    <parentid>26</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T23:10:19Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1045" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #336633;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>dbfaa3494c55fdfc620bc5168fb79039a8b974de</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>40</id>
    <parentid>33</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T08:46:01Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1080" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #336633;padding-top:4px;padding-bottom:4px;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>bd63a338d42b344838bd819254880bec708fc546</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Комплексные числа</title>
  <ns>0</ns>
  <id>7</id>
  <revision>
    <id>20</id>
    <timestamp>2021-10-21T21:47:58Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition= ''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13804" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. 
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}

Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

== Операции с комплексными числами ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}

{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}

{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}

Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.

{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}

Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Сопряженные комплексные числа ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Деление комплексных чисел ==
{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^{2} +b^{2}$ имеем $\delta = \frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{\alpha \bar{\alpha}} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{a^{2} +b^{2}}$. 

{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^{2} +b^{2}} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha }} = |\alpha | = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}

Возьмем произвольное комплексное число $\alpha$. Тогда
$$\alpha = a+bi = \sqrt{a^{2} +b^{2}} \left( \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} + \frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$$ 
где $r$ &amp;#8212;  модуль комплексного числа. Угол $\varphi$ такой, что
$$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}, \; \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}},$$
называется &lt;em&gt;аргументом&lt;/em&gt; комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.


Очевидно, что аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ &amp;#8212;  любое целое число. Заметим, что число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ &amp;#8212;  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

&lt;div class="theorem"&gt;
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения &amp;#8212;  сумме аргументов сомножителей.
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2} )$. Тогда
$$\alpha_{1} \alpha_{2} = r_{1} r_{2} \left[ (\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} - \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) \right]=$$ 
$$= r_{1} r_{2} \left( \cos (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) + i \sin (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) \right),$$ 
т. е. $|\alpha_{1} \alpha_{2} | = r_{1} r_{2}$, $\arg (\alpha_{1} \alpha_{2}) = \varphi_{1} +\varphi_{2}$.
&lt;/p&gt;

&lt;div class="corollary"&gt;
Справедливы соотношения
$$|\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} | = |\alpha_{1}| |\alpha_{2}| \cdots |\alpha_{n}|,$$ 
$$\arg (\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_{k}).$$ 
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем &lt;em&gt;формулу Муавра&lt;/em&gt;
$$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда
$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =$$ 
$$= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] =$$ 
$$= r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;div class="theorem"&gt;
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное
$$\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_{2}}{r_{1}} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1} } \right| = \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{|\alpha_{2}|}{|\alpha_{1}|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_{2} }{\alpha_{1}} \right) = \varphi_{2} - \varphi_{1} = \arg (\alpha_{2}) - \arg (\alpha_{1}).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;div class="definition"&gt;
Для любого натурального $n$ &lt;em&gt;корнем $n$-й степени&lt;/em&gt; из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[{n}]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;
Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[{n}]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ &amp;#8212;  любое целое число.
&lt;/p&gt;

&lt;div class="theorem"&gt;
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[{n}]{\alpha} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ &amp;#8212;  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_{2}}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{|\alpha|}$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.&lt;/p&gt;</text>
    <sha1>8c342390214437d315eee4527aabe48e2dbbb812</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>22</id>
    <parentid>20</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T21:57:22Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13752" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. 
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}

Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

== Операции с комплексными числами ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}

{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}

{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}

Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.

{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}

Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Сопряженные комплексные числа ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Деление комплексных чисел ==
{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^{2} +b^{2}$ имеем $\delta = \frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{\alpha \bar{\alpha}} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{a^{2} +b^{2}}$. 

{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^{2} +b^{2}} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha }} = |\alpha | = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}

Возьмем произвольное комплексное число $\alpha$. Тогда

$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 

где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. Угол $\varphi$ такой, что 

$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}, \; \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}},$

называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.


Очевидно, что аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Заметим, что число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2} )$. Тогда

$\alpha_{1} \alpha_{2} = r_{1} r_{2} \left[ (\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} - \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) \right]=$
 
$= r_{1} r_{2} \left( \cos (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) + i \sin (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) \right),$
 
т. е. $|\alpha_{1} \alpha_{2} | = r_{1} r_{2}$, $\arg (\alpha_{1} \alpha_{2}) = \varphi_{1} +\varphi_{2}$.
}}


&lt;div class="corollary"&gt;
Справедливы соотношения
$$|\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} | = |\alpha_{1}| |\alpha_{2}| \cdots |\alpha_{n}|,$$ 
$$\arg (\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_{k}).$$ 
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем &lt;em&gt;формулу Муавра&lt;/em&gt;
$$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда
$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =$$ 
$$= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] =$$ 
$$= r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;div class="theorem"&gt;
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное
$$\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_{2}}{r_{1}} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1} } \right| = \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{|\alpha_{2}|}{|\alpha_{1}|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_{2} }{\alpha_{1}} \right) = \varphi_{2} - \varphi_{1} = \arg (\alpha_{2}) - \arg (\alpha_{1}).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;div class="definition"&gt;
Для любого натурального $n$ &lt;em&gt;корнем $n$-й степени&lt;/em&gt; из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[{n}]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;
Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[{n}]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ &amp;#8212;  любое целое число.
&lt;/p&gt;

&lt;div class="theorem"&gt;
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[{n}]{\alpha} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ &amp;#8212;  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_{2}}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{|\alpha|}$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.&lt;/p&gt;</text>
    <sha1>c7d888261beac1f8a90e039e9fbc08c3014a0018</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>24</id>
    <parentid>22</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T22:09:29Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13785" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. 
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}

Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

== Операции с комплексными числами ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}

{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}

{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}

Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.

{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}

Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Сопряженные комплексные числа ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Деление комплексных чисел ==
{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^{2} +b^{2}$ имеем $\delta = \frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{\alpha \bar{\alpha}} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{a^{2} +b^{2}}$. 

== Тригонометрическая форма ==

{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}

Возьмем произвольное комплексное число $\alpha$. Тогда

$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 

где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. Угол $\varphi$ такой, что 

$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } },$

называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.


Очевидно, что аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Заметим, что число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2} )$. Тогда

$\alpha_{1} \alpha_{2} = r_{1} r_{2} \left[ (\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} - \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) \right]= r_{1} r_{2} \left( \cos (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) + i \sin (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) \right),$
 
т. е. $|\alpha_{1} \alpha_{2} | = r_{1} r_{2}$, $\arg (\alpha_{1} \alpha_{2}) = \varphi_{1} +\varphi_{2}$.
}}


&lt;div class="corollary"&gt;
Справедливы соотношения
$$|\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} | = |\alpha_{1}| |\alpha_{2}| \cdots |\alpha_{n}|,$$ 
$$\arg (\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_{k}).$$ 
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем &lt;em&gt;формулу Муавра&lt;/em&gt;
$$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда
$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =$$ 
$$= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] =$$ 
$$= r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;div class="theorem"&gt;
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное
$$\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_{2}}{r_{1}} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1} } \right| = \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{|\alpha_{2}|}{|\alpha_{1}|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_{2} }{\alpha_{1}} \right) = \varphi_{2} - \varphi_{1} = \arg (\alpha_{2}) - \arg (\alpha_{1}).$$ 
&lt;/p&gt;

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}


Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[{n}]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ &amp;#8212;  любое целое число.


{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
}}

&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ &amp;#8212;  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_{2}}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.


Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>b7e8afd0e043c0b22a5f9221e182a6715d5ce968</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>25</id>
    <parentid>24</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T22:14:24Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13772" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. 
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Сопряженные комплексные числа ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Деление комплексных чисел ==
{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^{2} +b^{2}$ имеем $\delta = \frac{\bar{\alpha}}{(a^{2} +b^{2})}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{\alpha \bar{\alpha}} = \frac{\beta \bar{\alpha}}{a^{2} +b^{2}}$. 

== Тригонометрическая форма ==

{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}

Возьмем произвольное комплексное число $\alpha$. Тогда
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } },$
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.

Очевидно, что аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Заметим, что число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.
{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2} )$. Тогда

$\alpha_{1} \alpha_{2} = r_{1} r_{2} \left[ (\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} - \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) \right]= r_{1} r_{2} \left( \cos (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) + i \sin (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) \right),$
 
т. е. $|\alpha_{1} \alpha_{2} | = r_{1} r_{2}$, $\arg (\alpha_{1} \alpha_{2}) = \varphi_{1} +\varphi_{2}$.
}}


&lt;div class="corollary"&gt;
Справедливы соотношения
$$|\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} | = |\alpha_{1}| |\alpha_{2}| \cdots |\alpha_{n}|,$$ 
$$\arg (\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_{k}).$$ 
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем &lt;em&gt;формулу Муавра&lt;/em&gt;
$$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда
$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =$$ 
$$= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] =$$ 
$$= r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;div class="theorem"&gt;
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное
$$\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_{2}}{r_{1}} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ 
$$= \frac{r_{2}}{r_{1}} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$ 
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1} } \right| = \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{|\alpha_{2}|}{|\alpha_{1}|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_{2} }{\alpha_{1}} \right) = \varphi_{2} - \varphi_{1} = \arg (\alpha_{2}) - \arg (\alpha_{1}).$$ 
&lt;/p&gt;

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}


Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[{n}]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ &amp;#8212;  любое целое число.


{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
}}

&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ &amp;#8212;  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_{2}}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.


Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>f1d824383895d29b020101402cb9be652b4a7c8d</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>31</id>
    <parentid>25</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T23:01:29Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13623" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. 
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Сопряженные комплексные числа ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Деление комплексных чисел ==
{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Возьмем произвольное комплексное число $\alpha$. Тогда
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } },$
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.

Очевидно, что аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.
{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2} )$. Тогда

$\alpha_{1} \alpha_{2} = r_{1} r_{2} \left[ (\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} - \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) \right]= r_{1} r_{2} \left( \cos (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) + i \sin (\varphi_{1} + \varphi_{2} ) \right),$
 
т. е. $|\alpha_{1} \alpha_{2} | = r_{1} r_{2}$, $\arg (\alpha_{1} \alpha_{2}) = \varphi_{1} +\varphi_{2}$.
}}

{{Следствие
|statement=
Справедливы соотношения
$|\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} | = |\alpha_{1}| |\alpha_{2}| \cdots |\alpha_{n}|,$ 
$\arg (\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_{k}).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем '''формулу Муавра'''
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$ 


Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
 r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное
$$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$ 


&lt;p&gt;Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_2}{\alpha_{1} } \right| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|\alpha_{2}|}{|\alpha_{1}|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$$ 
}}

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}


Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ &amp;#8212;  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
}}

&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ &amp;#8212;  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.


Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>00a65afa53305273e56e3a8ab6182e7f3bf2c57d</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>35</id>
    <parentid>31</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T23:16:51Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* Тригонометрическая форма */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13540" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. 
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Сопряженные комплексные числа ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Деление комплексных чисел ==
{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числоа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.

Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.
{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем '''формулу Муавра'''
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$ 


Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
 r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное
$$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$ 


&lt;p&gt;Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_2}{\alpha_{1} } \right| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|\alpha_{2}|}{|\alpha_{1}|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$$ 
}}

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}


Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ &amp;#8212;  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
}}

&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ &amp;#8212;  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.


Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>beab7948933660237dd50d474e0d5658da2e4af3</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>36</id>
    <parentid>35</parentid>
    <timestamp>2021-10-21T23:18:50Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Тригонометрическая форма */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13538" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. 
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Сопряженные комплексные числа ==

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Деление комплексных чисел ==
{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.

Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.
{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем '''формулу Муавра'''
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$ 


Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
 r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное
$$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$ 


&lt;p&gt;Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_2}{\alpha_{1} } \right| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|\alpha_{2}|}{|\alpha_{1}|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$$ 
}}

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}


Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ &amp;#8212;  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
}}

&lt;strong&gt;Доказательство.&lt;/strong&gt; В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ &amp;#8212;  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.


Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>df65c1ba1473f777f1f611811197737cc1eae990</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>37</id>
    <parentid>36</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T08:39:56Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13295" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.

Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.
{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
 r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right] = $$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$$ 

Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|\alpha_2|}{|\alpha_1|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$$ 
}}

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>bb39ef212c7c69c107b4c1c8bc0022a9b9218aa2</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>38</id>
    <parentid>37</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T08:43:11Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Тригонометрическая форма */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13336" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
 r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right] = $$ 
$$= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$$ 

Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|\alpha_2|}{|\alpha_1|}$, а аргумент частного 
$$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$$ 
}}

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>6f5a4e0cf8dc79f2a8a5aa5d073fe1840cb6233a</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>43</id>
    <parentid>38</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:09:55Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Тригонометрическая форма */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12572" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\left|\frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|\alpha_2|}{|\alpha_1|}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>7d9e71132b2a0dabb9466846615fa91f95f19021</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>44</id>
    <parentid>43</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:11:50Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Тригонометрическая форма */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12580" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\left \| \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right\| = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\|\alpha_2\|}{\|\alpha_1\|}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>b882bcdc8e08760c151cd092b2c2866fa367013f</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>48</id>
    <parentid>44</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:16:54Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Тригонометрическая форма */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12654" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\left \mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \right \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

== Корень из комплексного числа ==

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>455453290b11e676e4da8fa8dbce8d1f260c3d3e</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>49</id>
    <parentid>48</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:20:05Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Тригонометрическая форма */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12641" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

== Корень из комплексного числа ==

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле
$$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ 
где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>b286e2c0f4f1fe52670e722c4b73248aff735396</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>50</id>
    <parentid>49</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:20:50Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Корень из комплексного числа */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12638" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

== Корень из комплексного числа ==

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
\begin{equation} \label{eq_1_1_1}
R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k,   
\end{equation}
где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле

$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением

$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$ 

где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>5331dab38e02f8aee1856f4512e4175c0eb1efbe</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>52</id>
    <parentid>50</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:56:49Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Корень из комплексного числа */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12588" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

== Корень из комплексного числа ==

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
$R = \sqrt[n]{r}$,  $n\psi =\varphi +2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле

$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением

$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$ 

где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.</text>
    <sha1>5cfcf12920f04a4ab2ea890c0330c96db525763f</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>53</id>
    <parentid>52</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T10:17:08Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* Корень из комплексного числа */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13054" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

== Корень из комплексного числа ==

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
$R = \sqrt[n]{r}$,  $n\psi =\varphi +2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле

$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением

$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$ 

где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.

=== Пример ===
Извлечь корень $\sqrt[4]{-4}$.

Представим число под корнем в тригонометрической форме $-4 = 4 ( \cos \pi + i \sin \pi )$.

Согласно теоремы существует 4 значения корня: $\sqrt(2) \left( \cos\frac{\pi+2\pi k}{4} + i \sin\frac{\pi+2\pi k}{4} \right)$, $k=\overline{0,3}$:
* $k=0$: $(1+i)$,
* $k=1$: $(-1+i)$,
* $k=2$: $(-1-i)$,
* $k=3$: $(1-i)$.</text>
    <sha1>e335954baca794c6faefee9575a2fb5904828c2e</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>54</id>
    <parentid>53</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T10:30:29Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* Корень из комплексного числа */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13052" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
''Комплексным числом'' $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. &lt;br /&gt;
Число $a$ именуют ''действительной частью'' комплексного числа, а число $b$ {{---}}  мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
}}
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется ''чисто мнимым''.

{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''сопряженными'', если $a=c$, $b=-d$.
}}

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$. 

== Операции с комплексными числами ==
{{Определение
|definition=
Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются ''равными'', если $a=c$, $b=d$.
}}
{{Определение
|definition=
''Суммой двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.
}}
{{Определение
|definition=
''Разностью'' двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.
}}
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
{{Определение
|definition=
''Произведением двух комплексных чисел'' $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.
}}
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

{{Определение
|definition=
Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.
}}

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

{{Определение
|definition=
''Частным'' двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.
}}

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$. 

=== Свойства операций с комплексными числами ===
* $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
* $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
* $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
* $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
* $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
* $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$  
* $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$ 

== Мнимая единица ==

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое ''мнимой единицей''. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

== Тригонометрическая форма ==
{{Определение
|definition=
Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют ''модулем'' комплексного числа $\alpha$.
}}
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: 
$\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ 
где $r$ {{---}}  модуль комплексного числа. 

{{Определение
|definition=
Угол $\varphi$ такой, что 
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется ''аргументом'' комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.
}}
Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

{{Определение
|definition=
Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ {{---}}  модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ {{---}}  аргумент, называется ''тригонометрической''.
}}

{{Теорема
|statement= 
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения {{---}}  сумме аргументов сомножителей.
|proof=
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
 
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
}}

{{Следствие
|id=col2
|statement=
Справедливы соотношения
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$ 
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$ 
}}

В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем [[Формула Муавра|формулу Муавра]]
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

{{Теорема
|statement=
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
|proof=
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное

$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right]   
= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$ 

Таким образом, модуль частного $\mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного 
$\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$ 
}}

== Корень из комплексного числа ==

{{Определение
|definition=
Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.
}}

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что 
$R = \sqrt[n]{r}$,  $n\psi =\varphi +2\pi k$, где $k$ {{---}}  любое целое число.

{{Теорема
|statement=
Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле

$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$ 
|proof=
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением
$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$ 
где $k$ {{---}}  произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение
$\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$
для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. 
Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
}}

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.

=== Пример ===
Извлечь корень $\sqrt[4]{-4}$.

Представим число под корнем в тригонометрической форме $-4 = 4 ( \cos \pi + i \sin \pi )$.

Согласно теоремы существует 4 значения корня: $\sqrt(2) \left( \cos\frac{\pi+2\pi k}{4} + i \sin\frac{\pi+2\pi k}{4} \right)$, $k=\overline{0,3}$:
* $k=0$: $(1+i)$,
* $k=1$: $(-1+i)$,
* $k=2$: $(-1-i)$,
* $k=3$: $(1-i)$.</text>
    <sha1>28cb8f2870ae004b7db877581d87fbc54ad67591</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Шаблон:---</title>
  <ns>10</ns>
  <id>8</id>
  <revision>
    <id>21</id>
    <timestamp>2021-10-21T21:48:52Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «—&lt;noinclude&gt;[[Категория:Шаблоны]]&lt;/noinclude&gt;»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="63" xml:space="preserve">—&lt;noinclude&gt;[[Категория:Шаблоны]]&lt;/noinclude&gt;</text>
    <sha1>4d009bc01282b58a5b40021fcb5e7879b9b738e3</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Категория:Шаблоны</title>
  <ns>14</ns>
  <id>9</id>
  <revision>
    <id>27</id>
    <timestamp>2021-10-21T22:41:52Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «[[Категория:Служебные]]»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="41" xml:space="preserve">[[Категория:Служебные]]</text>
    <sha1>d41beb82dee3b76f91e9859aedb4f3b5626bdbcf</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Шаблон:Следствие</title>
  <ns>10</ns>
  <id>10</id>
  <revision>
    <id>29</id>
    <timestamp>2021-10-21T22:51:09Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;noinclude&gt; Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]: &lt;pre&gt; {{Следствие |id=идентифика...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1249" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #6699cc;"&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>79691194b621af57da5964ef2297dbf4af16c153</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Формула Муавра</title>
  <ns>0</ns>
  <id>11</id>
  <revision>
    <id>41</id>
    <timestamp>2021-10-22T09:07:48Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в Комплексные числа#Тригонометр...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1409" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$.
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
 r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>890fb3bd66f2c0660860bd14a78f53bc2623e59c</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>42</id>
    <parentid>41</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:09:01Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1411" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$.
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =
 r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>e90a5bcdadcd7b7cb3c44b35ec00a01c54dfa65b</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>45</id>
    <parentid>42</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:13:25Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1404" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$.
$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } 
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>4eb9b3dfccf04db05552cb6e441a8b90b6fc0391</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>51</id>
    <parentid>45</parentid>
    <timestamp>2021-10-22T09:22:41Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1405" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$:

$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m&gt;0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } 
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>c76b9ca22afd477f23866e729c289d609bc4d162</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>55</id>
    <parentid>51</parentid>
    <timestamp>2021-10-23T22:46:53Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1410" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$:

$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m &amp;gt; 0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } 
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>6663e66274390446e07ad6669e0e7bfd7b191cf1</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>56</id>
    <parentid>55</parentid>
    <timestamp>2021-10-23T22:47:26Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1421" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа &lt;math&gt;\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)&lt;/math&gt; (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого $n$:

$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$ 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m &amp;gt; 0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } 
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>10adaa8e20c2b38fddd39068728e88222c11eb8b</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>57</id>
    <parentid>56</parentid>
    <timestamp>2021-10-24T17:21:05Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1509" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа &lt;math&gt;\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)&lt;/math&gt; (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).&lt;/math&gt; 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого &lt;math&gt;n\le 0&lt;/math&gt;. Сначала заметим, что при &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь &lt;math&gt;k=-m&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;m &amp;gt; 0&lt;/math&gt;. Тогда

&lt;math&gt;\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } 
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).&lt;/math&gt;

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>65d647751e01af4585f906687f21f45b8efde7ee</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>58</id>
    <parentid>57</parentid>
    <timestamp>2021-10-24T17:21:32Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1506" xml:space="preserve">Для любого комплексного числа &lt;math&gt;\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)&lt;/math&gt; (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).&lt;/math&gt; 

По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого &lt;math&gt;n\le 0&lt;/math&gt;. Сначала заметим, что при &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь &lt;math&gt;k=-m&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;m &gt; 0&lt;/math&gt;. Тогда

&lt;math&gt;\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } 
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).&lt;/math&gt;

[[Категория:Алгебра и геометрия]]
[[Категория:Комплексные числа]]</text>
    <sha1>fc7aff7e34235d2e2c2d733b21b9d013a9fd687d</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Категория:Алгебра и геометрия</title>
  <ns>14</ns>
  <id>12</id>
  <revision>
    <id>46</id>
    <timestamp>2021-10-22T09:14:07Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="">
  <title>Категория:Комплексные числа</title>
  <ns>14</ns>
  <id>13</id>
  <revision>
    <id>47</id>
    <timestamp>2021-10-22T09:14:33Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Дискретная математика</title>
  <ns>0</ns>
  <id>14</id>
  <revision>
    <id>59</id>
    <timestamp>2021-10-28T10:19:28Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «== Основы теории множеств == * [[Множества]] * [[Диаграммы Эйлера-Венна]] * Прямое произведени...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2906" xml:space="preserve">== Основы теории множеств ==
* [[Множества]]
* [[Диаграммы Эйлера-Венна]]
* [[Прямое произведение множеств]]
* [[Парадокс Рассела]]
* [[Аксиомы ZFC]]
* [[Бинарные отношения]]
* [[Отношение эквивалентности]]
* [[Отношение порядка]]
* [[Лексикографический порядок]]

== Комбинаторика ==
* [[Размещения]]
* [[Сочетания]]
* [[Треугольник Паскаля]]
* [[Перебор сочетаний]]
* [[Бином Ньютона]]
* [[Мультимножества]]
* [[Мультиномиальная формула Ньютона]]
* [[Разбиения множеств]]
* [[Композиция натурального числа]]
* [[Разбиения натурального числа]]
* [[Перестановки]]
* [[Группа перестановок]]
* [[Циклы перестановки]]
* [[Тип перестановки]]
* [[Принцип включения-исключения]]
* [[Задача о беспорядках]]
* [[Мощность объединения множеств]]
* [[Число целочисленных решений системы неравенств]]

== Булевы функции ==
* [[Булевы функции]]
* [[Формулы]]
* [[Основные тождества]]
* [[Дизъюнктивная нормальная форма]]
* [[Конъюнктивная нормальная форма]]
* [[Разложение функции по переменным]]
* [[Полином Жегалкина]]
* [[Полнота системы функций]]
* [[Функции сохраняющие ноль|Функции, сохраняющие ноль]]
* [[Функции сохраняющие единицу|Функции, сохраняющие единицу]]
* [[Двойственные функции]]
* [[Самодвойственные функции]]
* [[Монотонные функции]]
* [[Линейные функции]]
* [[Критерий полноты системы функций]]

== Исчисление высказываний ==

== Исчисление предикатов ==

== Алгоритмы ==
* [[Понятие алгоритма]]
* [[Машина Тьюринга]]
* [[Стандартные конфигурации машины Тьюринга]]
* [[Вычислимые функции]]
* [[Алгоритмически неразрешимые задачи]]
* [[Сложность алгоритмов]]
* [[Полиномиальная сводимость]]
* [[Классы задач в форме распознавания свойств]]
* [[NP-полные задачи]]
* [[Задача коммивояжера]]

== Графы ==</text>
    <sha1>854b2b41da0df013bcb31cbd613d8672c44b1963</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Шаблон:Пример</title>
  <ns>10</ns>
  <id>15</id>
  <revision>
    <id>60</id>
    <timestamp>2021-10-30T22:04:48Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;noinclude&gt; Использование шаблона [[Шаблон:Пример|Пример]]: &lt;pre&gt; {{Пример |definition=текст }} &lt;/pre&gt;  Кат...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="544" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Пример|Пример]]:
&lt;pre&gt;
{{Пример
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";"&gt;'''Пример:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #ff9933;padding-top:4px;padding-bottom:4px;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>f7b6aa4ebd61667706e3d0d35360ce4caceb0f31</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>61</id>
    <parentid>60</parentid>
    <timestamp>2021-10-30T22:08:55Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="580" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Пример|Пример]]:
&lt;pre&gt;
{{Пример
|num=номер (не обязательно)
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";"&gt;'''Пример''' {{#if:{{{num|}}}|''' {{{num}}}'''|}}&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #ff9933;padding-top:4px;padding-bottom:4px;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>7718baf50205cee68799c0c9a054daf8b1ed8ce1</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>69</id>
    <parentid>61</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T12:02:25Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="574" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Пример|Пример]]:
&lt;pre&gt;
{{Пример
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";"&gt;'''Пример''' {{#if:{{{num|}}}|''' {{{num}}}'''|}}&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #ff9933;padding-top:4px;padding-bottom:4px;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{content}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>c97fe5ea57e521c8df8fd9c4ae8c64d022d4a93e</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>87</id>
    <parentid>69</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:19:46Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="592" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Пример|Пример]]:
&lt;pre&gt;
{{Пример
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #ff9933;padding:3px;"&gt;'''Пример''' {{#if:{{{num|}}}|''' {{{num}}}'''|}}&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #ff9933;padding:3px;"&gt;
&lt;div style="margin: 4px auto;width:100%;&gt;{{{content}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>6e2637836c9636d410d78ab2f0eef2725c1da3df</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Шаблон:Утверждение</title>
  <ns>10</ns>
  <id>16</id>
  <revision>
    <id>62</id>
    <timestamp>2021-10-30T22:15:59Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;noinclude&gt; Использование шаблона [[Шаблон:Утверждение|Утверждение]]: &lt;pre&gt; {{Утверждение |id=иден...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1565" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Утверждение|Утверждение]]:
&lt;pre&gt;
{{Утверждение
|id=идентификатор (необязательно), пример: Prop1. 
|author=Автор утверждения необязательно)
|about=О чем утверждение(необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на утверждение можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Prop1|утверждению такому-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;"&gt;'''Утверждение{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #33bbcc;padding-top:5px;padding-bottom:5px;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>bacc372d5462bceba1d5bd2e486b3841f863a427</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>89</id>
    <parentid>62</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:22:20Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1586" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Утверждение|Утверждение]]:
&lt;pre&gt;
{{Утверждение
|id=идентификатор (необязательно), пример: Prop1. 
|author=Автор утверждения необязательно)
|about=О чем утверждение(необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на утверждение можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Prop1|утверждению такому-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #33bbcc;padding:3px;"&gt;'''Утверждение{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #33bbcc;padding:3px;"&gt;
&lt;div style="margin:10px auto;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>eb240c7f6300f47c3db100f5deaf0ddf9c05abd1</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>93</id>
    <parentid>89</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T15:08:45Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1587" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Утверждение|Утверждение]]:
&lt;pre&gt;
{{Утверждение
|id=идентификатор (необязательно), пример: Prop1. 
|author=Автор утверждения (необязательно)
|about=О чем утверждение(необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на утверждение можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Prop1|утверждению такому-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #33bbcc;padding:3px;"&gt;'''Утверждение{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #33bbcc;padding:3px;"&gt;
&lt;div style="margin:10px auto;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>55822eb3e6c503d29b951f1d5e754acae4fcba12</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Размещения</title>
  <ns>0</ns>
  <id>17</id>
  <revision>
    <id>63</id>
    <timestamp>2021-10-30T22:19:57Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |id=def1 |definition= ''Размещением'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется упор...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2058" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Размещением'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется упорядоченная выборка без повторений 
объема &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-элементного множества.
}}

Не умаляя общности, можно называть размещением из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; упорядоченный набор из &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; различных чисел, 
принадлежащих множеству &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;.

Количество различных размещений из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; обозначают &lt;math&gt;A_n^k&lt;/math&gt; .

{{Пример
|num=1
|definition= Пусть на экзамене у преподавателя &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; различных билетов и сдавать пришло &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; студентов.
Тогда существует ровно &lt;math&gt;A_n^k&lt;/math&gt; способов выдать всем студентам по одному билету для подготовки.
}}

{{Пример
|num=2
|definition= Пусть &lt;math&gt;S = \{1,2,3\}&lt;/math&gt;. Тогда  &lt;math&gt;(1,2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(1,3)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(2,1)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(2,3)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(3,1)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt; {{---}} все возможные размещения из трех элементов по два.
}}

{{Утверждение
|statement=Пусть &lt;math&gt;k,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;1 \leq k \leq n&lt;/math&gt;. 
Тогда &lt;math&gt;A_n^k = n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot(n-k+1) =\frac{n!}{(n-k)!}&lt;/math&gt;.
|proof=
Действительно, существует &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; различных способов выбрать первый элемент набора из элементов множества &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;. 
Аналогично, существует &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt; способ выбора второго элемента и так далее.
}}</text>
    <sha1>e7b9ae02ccdd9df9f3effea2532f9bc2782edece</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>64</id>
    <parentid>63</parentid>
    <timestamp>2021-10-30T22:21:06Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2109" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Размещением'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется упорядоченная выборка без повторений 
объема &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-элементного множества.
}}

Не умаляя общности, можно называть размещением из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; упорядоченный набор из &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; различных чисел, 
принадлежащих множеству &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;.

Количество различных размещений из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; обозначают &lt;math&gt;A_n^k&lt;/math&gt; .

{{Пример
|num=1
|definition= Пусть на экзамене у преподавателя &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; различных билетов и сдавать пришло &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; студентов.
Тогда существует ровно &lt;math&gt;A_n^k&lt;/math&gt; способов выдать всем студентам по одному билету для подготовки.
}}

{{Пример
|num=2
|definition= Пусть &lt;math&gt;S = \{1,2,3\}&lt;/math&gt;. Тогда  &lt;math&gt;(1,2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(1,3)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(2,1)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(2,3)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(3,1)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt; {{---}} все возможные размещения из трех элементов по два.
}}

{{Утверждение
|statement=Пусть &lt;math&gt;k,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;1 \leq k \leq n&lt;/math&gt;. 
Тогда &lt;math&gt;A_n^k = n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot(n-k+1) =\frac{n!}{(n-k)!}&lt;/math&gt;.
|proof=
Действительно, существует &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; различных способов выбрать первый элемент набора из элементов множества &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;. 
Аналогично, существует &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt; способ выбора второго элемента и так далее.
}}

[[Категория:Комбинаторика]]</text>
    <sha1>d7d167fae225c4671c1c27807764ffad9ececcc9</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>92</id>
    <parentid>64</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:26:31Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2103" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Размещением'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется упорядоченная выборка без повторений 
объема &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-элементного множества.
}}

Не умаляя общности, можно называть размещением из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; упорядоченный набор из &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; различных чисел, 
принадлежащих множеству &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;.

Количество различных размещений из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; обозначают &lt;math&gt;A_n^k&lt;/math&gt; .

{{Пример
|num=1
|content= Пусть на экзамене у преподавателя &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; различных билетов и сдавать пришло &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; студентов.
Тогда существует ровно &lt;math&gt;A_n^k&lt;/math&gt; способов выдать всем студентам по одному билету для подготовки.
}}

{{Пример
|num=2
|content= Пусть &lt;math&gt;S = \{1,2,3\}&lt;/math&gt;. Тогда  &lt;math&gt;(1,2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(1,3)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(2,1)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(2,3)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(3,1)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt; {{---}} все возможные размещения из трех элементов по два.
}}

{{Утверждение
|statement=Пусть &lt;math&gt;k,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;1 \leq k \leq n&lt;/math&gt;. 
Тогда &lt;math&gt;A_n^k = n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot(n-k+1) =\frac{n!}{(n-k)!}&lt;/math&gt;.
|proof=
Действительно, существует &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; различных способов выбрать первый элемент набора из элементов множества &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;. 
Аналогично, существует &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt; способ выбора второго элемента и так далее.
}}

[[Категория:Комбинаторика]]</text>
    <sha1>08784f3b93ac9765f70bc045b767141685a767ca</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Категория:Комбинаторика</title>
  <ns>14</ns>
  <id>18</id>
  <revision>
    <id>65</id>
    <timestamp>2021-10-30T22:21:31Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Сочетания</title>
  <ns>0</ns>
  <id>19</id>
  <revision>
    <id>66</id>
    <timestamp>2021-10-30T22:31:39Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |id=def1 |definition= ''Сочетанием'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется неупо...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2019" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Сочетанием'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется неупорядоченная выборка без повторений объема &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-элементного множества.
}}
Не умаляя общности, можно называть сочетанием из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; неупорядоченный набор из &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; различных чисел, 
принадлежащих множеству &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;.

Количество различных сочетаний из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; обозначают &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;\binom{n}{k}&lt;/math&gt;.
{{Пример
|num=1
|definition=Предположим, из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; участников спортивного клуба на соревнования должны поехать какие-то &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;.
Тогда имеется &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; различных возможности собрать команду.
}}
{{Пример
|num=2
|definition= Пусть &lt;math&gt;S = \{1,2,3\}&lt;/math&gt;.  Тогда &lt;math&gt;\{1,2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{1,3\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{2,3\}&lt;/math&gt; {{---}} все возможные cочетания из трех элементов по два.
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть &lt;math&gt;k,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;1 \leq k \leq n&lt;/math&gt;. 
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
|proof=
Действительно, каждому сочетанию из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; соответствует  &lt;math&gt;k!&lt;/math&gt; различных размещений из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; с различным порядком следования элементов.
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
}}

[[Категория:Комбинаторика]]</text>
    <sha1>469bf2ca0f460ad6a5c7c33bd19a879aedbd6a2f</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>67</id>
    <parentid>66</parentid>
    <timestamp>2021-10-31T14:47:46Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3398" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Сочетанием'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется неупорядоченная выборка без повторений объема &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-элементного множества.
}}
Не умаляя общности, можно называть сочетанием из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; неупорядоченный набор из &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; различных чисел, 
принадлежащих множеству &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;.

Количество различных сочетаний из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; обозначают &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;\binom{n}{k}&lt;/math&gt;.
{{Пример
|num=1
|definition=Предположим, из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; участников спортивного клуба на соревнования должны поехать какие-то &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;.
Тогда имеется &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; различных возможности собрать команду.
}}
{{Пример
|num=2
|definition= Пусть &lt;math&gt;S = \{1,2,3\}&lt;/math&gt;.  Тогда &lt;math&gt;\{1,2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{1,3\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{2,3\}&lt;/math&gt; {{---}} все возможные cочетания из трех элементов по два.
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть &lt;math&gt;k,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;1 \leq k \leq n&lt;/math&gt;. 
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
|proof=
Действительно, каждому сочетанию из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; соответствует  &lt;math&gt;k!&lt;/math&gt; различных размещений из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; с различным порядком следования элементов.
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
}}

== Свойства числа сочетаний ==

&lt;math&gt;
\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}.
&lt;/math&gt;

Действительно,
&lt;math&gt;
\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{k!}{l!(k-l)!} \cdot \frac{(n-l)!}{(n-l)!}=
\frac{n!}{l!(n-l)!}\cdot\frac{(n-l)!}{(k-l)!(n-k)!} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}.
&lt;/math&gt;

Интуитивно формулу можно описать как разбиение множества
из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов на три подмножества мощностей &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k-l&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n-k&lt;/math&gt; соответственно.
Левая часть равенства описывает выбор сначала &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; элементов из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, а затем &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; элементов из выбранных &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. 
Получим все варианты разбиения исходного множества на три подмножества указанных мощностей.

Правая часть равенства соответствует выбору сначала &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; элементов из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, 
а затем &lt;math&gt;k-l&lt;/math&gt; элементов из оставшихся &lt;math&gt;n-l&lt;/math&gt;. Получим те же варианты подмножеств.


[[Категория:Комбинаторика]]</text>
    <sha1>84449b5e30306e59023dc81cbbcc45daed7fbfae</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>68</id>
    <parentid>67</parentid>
    <timestamp>2021-10-31T15:03:18Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5648" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Сочетанием'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется неупорядоченная выборка без повторений объема &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-элементного множества.
}}
Не умаляя общности, можно называть сочетанием из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; неупорядоченный набор из &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; различных чисел, 
принадлежащих множеству &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;.

Количество различных сочетаний из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; обозначают &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;\binom{n}{k}&lt;/math&gt;.
{{Пример
|num=1
|definition=Предположим, из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; участников спортивного клуба на соревнования должны поехать какие-то &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;.
Тогда имеется &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; различных возможности собрать команду.
}}
{{Пример
|num=2
|definition= Пусть &lt;math&gt;S = \{1,2,3\}&lt;/math&gt;.  Тогда &lt;math&gt;\{1,2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{1,3\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{2,3\}&lt;/math&gt; {{---}} все возможные cочетания из трех элементов по два.
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть &lt;math&gt;k,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;1 \leq k \leq n&lt;/math&gt;. 
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
|proof=
Действительно, каждому сочетанию из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; соответствует  &lt;math&gt;k!&lt;/math&gt; различных размещений из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; с различным порядком следования элементов.
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
}}

== Свойства числа сочетаний ==

&lt;math&gt;
\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}.
&lt;/math&gt;

Действительно,
&lt;math&gt;
\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{k!}{l!(k-l)!} \cdot \frac{(n-l)!}{(n-l)!}=
\frac{n!}{l!(n-l)!}\cdot\frac{(n-l)!}{(k-l)!(n-k)!} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}.
&lt;/math&gt;

Интуитивно формулу можно описать как разбиение множества
из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов на три подмножества мощностей &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k-l&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n-k&lt;/math&gt; соответственно.
Левая часть равенства описывает выбор сначала &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; элементов из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, а затем &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; элементов из выбранных &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. 
Получим все варианты разбиения исходного множества на три подмножества указанных мощностей.

Правая часть равенства соответствует выбору сначала &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; элементов из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, 
а затем &lt;math&gt;k-l&lt;/math&gt; элементов из оставшихся &lt;math&gt;n-l&lt;/math&gt;. Получим те же варианты подмножеств.

== Алгоритм перебора сочетаний ==

Пусть &lt;math&gt;x_1, x_2, ..., x_k&lt;/math&gt; {{---}} числа из множества &lt;math&gt;\{1,2,...,n\}&lt;/math&gt;, вошедшие в сочетание, причем &lt;math&gt;x_1 \lt x_2 \lt ... \lt x_k&lt;/math&gt;.

Пусть в начальный момент времени сочетание состоит из первых &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; чисел: &lt;math&gt;x_i = i, i=\overline{1,k}&lt;/math&gt;.

На каждом шаге будем просматривать вектор &lt;math&gt;(x_1, x_2, ..., x_k)&lt;/math&gt;, начиная с &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;, и искать первую такую компоненту &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;, 
которую можно увеличить (нельзя увеличить &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;, если он равен &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;x_{k-1}&lt;/math&gt;, если он равен &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt; и так далее).

Если такой компоненты не найдется, алгоритм завершает свою работу.
В противном случае, пусть &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; {{---}} такое наибольшее число, что &lt;math&gt;x_i \lt n-k+i&lt;/math&gt;. 
Увеличим &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt; на единицу, а для всех &lt;math&gt;x_t, t=\overline{i+1,k}&lt;/math&gt;, присваиваем значения &lt;math&gt;x_t = x_i+(t-i)&lt;/math&gt;. 
Повторяем процесс нужное число раз.

=== Пример ===
{{Пример
|num=1
|definition=Рассмотрим, как работает алгоритм для &lt;math&gt;n=5&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;k=3&lt;/math&gt;.
# Сначала &lt;math&gt;x = (x_1, x_2, x_3) = (1,2,3)&lt;/math&gt;. 
# Увеличиваем &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;x = (1,2,4)&lt;/math&gt;. 
# Увеличиваем &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;x = (1,2,5)&lt;/math&gt;. 
# &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; больше увеличить нельзя. Увеличиваем &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; и переназначаем значение &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;x = (1,3,4)&lt;/math&gt;. 
# &lt;math&gt;x = (1,3,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (1,4,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (2,3,4)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (2,3,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (2,4,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (3,4,5)&lt;/math&gt;

Таким образом, мы перебрали все сочетания из 5 по 3.
}}


[[Категория:Комбинаторика]]</text>
    <sha1>9d14b636fcbecc42d6e36e63587f8c529004f17d</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>91</id>
    <parentid>68</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:26:06Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5639" xml:space="preserve">{{Определение
|id=def1
|definition=
''Сочетанием'' из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; называется неупорядоченная выборка без повторений объема &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-элементного множества.
}}
Не умаляя общности, можно называть сочетанием из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; неупорядоченный набор из &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; различных чисел, 
принадлежащих множеству &lt;math&gt;\{1, ..., n\}&lt;/math&gt;.

Количество различных сочетаний из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; обозначают &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;\binom{n}{k}&lt;/math&gt;.
{{Пример
|num=1
|content=Предположим, из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; участников спортивного клуба на соревнования должны поехать какие-то &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;.
Тогда имеется &lt;math&gt;C_n^k&lt;/math&gt; различных возможности собрать команду.
}}
{{Пример
|num=2
|content= Пусть &lt;math&gt;S = \{1,2,3\}&lt;/math&gt;.  Тогда &lt;math&gt;\{1,2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{1,3\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{2,3\}&lt;/math&gt; {{---}} все возможные cочетания из трех элементов по два.
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть &lt;math&gt;k,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;1 \leq k \leq n&lt;/math&gt;. 
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
|proof=
Действительно, каждому сочетанию из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; соответствует  &lt;math&gt;k!&lt;/math&gt; различных размещений из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; по &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; с различным порядком следования элементов.
Тогда &lt;math&gt;\binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt;.
}}

== Свойства числа сочетаний ==

&lt;math&gt;
\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}.
&lt;/math&gt;

Действительно,
&lt;math&gt;
\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{k!}{l!(k-l)!} \cdot \frac{(n-l)!}{(n-l)!}=
\frac{n!}{l!(n-l)!}\cdot\frac{(n-l)!}{(k-l)!(n-k)!} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}.
&lt;/math&gt;

Интуитивно формулу можно описать как разбиение множества
из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементов на три подмножества мощностей &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k-l&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n-k&lt;/math&gt; соответственно.
Левая часть равенства описывает выбор сначала &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; элементов из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, а затем &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; элементов из выбранных &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. 
Получим все варианты разбиения исходного множества на три подмножества указанных мощностей.

Правая часть равенства соответствует выбору сначала &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; элементов из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, 
а затем &lt;math&gt;k-l&lt;/math&gt; элементов из оставшихся &lt;math&gt;n-l&lt;/math&gt;. Получим те же варианты подмножеств.

== Алгоритм перебора сочетаний ==

Пусть &lt;math&gt;x_1, x_2, ..., x_k&lt;/math&gt; {{---}} числа из множества &lt;math&gt;\{1,2,...,n\}&lt;/math&gt;, вошедшие в сочетание, причем &lt;math&gt;x_1 \lt x_2 \lt ... \lt x_k&lt;/math&gt;.

Пусть в начальный момент времени сочетание состоит из первых &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; чисел: &lt;math&gt;x_i = i, i=\overline{1,k}&lt;/math&gt;.

На каждом шаге будем просматривать вектор &lt;math&gt;(x_1, x_2, ..., x_k)&lt;/math&gt;, начиная с &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;, и искать первую такую компоненту &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;, 
которую можно увеличить (нельзя увеличить &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;, если он равен &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;x_{k-1}&lt;/math&gt;, если он равен &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt; и так далее).

Если такой компоненты не найдется, алгоритм завершает свою работу.
В противном случае, пусть &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; {{---}} такое наибольшее число, что &lt;math&gt;x_i \lt n-k+i&lt;/math&gt;. 
Увеличим &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt; на единицу, а для всех &lt;math&gt;x_t, t=\overline{i+1,k}&lt;/math&gt;, присваиваем значения &lt;math&gt;x_t = x_i+(t-i)&lt;/math&gt;. 
Повторяем процесс нужное число раз.

=== Пример ===
{{Пример
|num=1
|content=Рассмотрим, как работает алгоритм для &lt;math&gt;n=5&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;k=3&lt;/math&gt;.
# Сначала &lt;math&gt;x = (x_1, x_2, x_3) = (1,2,3)&lt;/math&gt;. 
# Увеличиваем &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;x = (1,2,4)&lt;/math&gt;. 
# Увеличиваем &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;x = (1,2,5)&lt;/math&gt;. 
# &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; больше увеличить нельзя. Увеличиваем &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; и переназначаем значение &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;x = (1,3,4)&lt;/math&gt;. 
# &lt;math&gt;x = (1,3,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (1,4,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (2,3,4)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (2,3,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (2,4,5)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;x = (3,4,5)&lt;/math&gt;

Таким образом, мы перебрали все сочетания из 5 по 3.
}}


[[Категория:Комбинаторика]]</text>
    <sha1>c315ca5267aba56c083ad6986b999fdaea4dae29</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Шаблон:Замечание</title>
  <ns>10</ns>
  <id>20</id>
  <revision>
    <id>70</id>
    <timestamp>2021-11-04T12:33:36Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;noinclude&gt; Использование шаблона [[Шаблон:Замечание|Замечание]]: &lt;pre&gt; {{Замечание |num=номер (не о...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="598" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Замечание|Замечание]]:
&lt;pre&gt;
{{Замечание
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";"&gt;'''Замечание''' {{#if:{{{num|}}}|''' {{{num}}}'''|}}&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #666666;padding-top:4px;padding-bottom:4px;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{content}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>ca892f1b9e10f07edb7df244e6268f085bc95cbc</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>78</id>
    <parentid>70</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:08:42Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="639" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Замечание|Замечание]]:
&lt;pre&gt;
{{Замечание
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #666666;padding:3px;"&gt;'''Замечание''' {{#if:{{{num|}}}|''' {{{num}}}'''|}}&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #666666;padding-top:4px;padding-bottom:4px;"&gt;
&lt;div style="margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{content}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>2a2e29b38a526b6879d21614114bfab9e8478ee7</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>79</id>
    <parentid>78</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:10:12Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="631" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Замечание|Замечание]]:
&lt;pre&gt;
{{Замечание
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #666666;padding:3px;"&gt;'''Замечание''' {{#if:{{{num|}}}|''' {{{num}}}'''|}}&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #666666;padding:3px;"&gt;
&lt;div style="margin:0 auto; margin-left: 4px;width:100%;&gt;{{{content}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>d6cf2616bd99ee787e775af5b87a4d555da62d1e</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Шаблон:Лемма</title>
  <ns>10</ns>
  <id>21</id>
  <revision>
    <id>71</id>
    <timestamp>2021-11-04T12:39:12Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;noinclude&gt; Использование шаблона [[Шаблон:Лемма|Лемма]]: &lt;pre&gt; {{Лемма |id=идентификатор (необязат...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1408" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Лемма|Лемма]]:
&lt;pre&gt;
{{Лемма
|id=идентификатор (необязательно), пример: Lem1. 
|about=О чем лемма (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на лемму можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Lem1|лемме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;"&gt;'''Лемма{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #3399cc;padding-top:5px;padding-bottom:5px;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3399cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>c1b9c6991e702846bdfe7d82200325ce1926a6ef</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>81</id>
    <parentid>71</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:12:56Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1426" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Лемма|Лемма]]:
&lt;pre&gt;
{{Лемма
|id=идентификатор (необязательно), пример: Lem1. 
|about=О чем лемма (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на лемму можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Lem1|лемме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #3399cc;padding:3px;"&gt;'''Лемма{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #3399cc;padding:3px"&gt;&lt;div style="margin:10px auto;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3399cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>b00899f60e2a1eebfd5b2d35d32004b2e890561a</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>82</id>
    <parentid>81</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:14:24Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1431" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Лемма|Лемма]]:
&lt;pre&gt;
{{Лемма
|id=идентификатор (необязательно), пример: Lem1. 
|about=О чем лемма (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на лемму можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Lem1|лемме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div width="100%" style="background-color:#EEEEEE; border-left:3px solid #3399cc; padding:3px;"&gt;'''Лемма{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color:#fdfdfd; border-left:3px solid #3399cc; padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin:10px auto; width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3399cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>eaaa2cb6b02a2da1be691a61a51b23ea89a10e91</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Шаблон:Следствие</title>
  <ns>10</ns>
  <id>10</id>
  <revision>
    <id>72</id>
    <parentid>29</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T12:56:19Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1273" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #6699cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>195894d881a030f45d56c979c2aa6240670a4cf5</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>73</id>
    <parentid>72</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T12:58:59Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1296" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc;padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;"&gt;&lt;div style="margin-left:10px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #6699cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>ab95818bd5b1bf0bd92046f4a08f4919e4db23c3</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>74</id>
    <parentid>73</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T12:59:53Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1308" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin-left:5px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #6699cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>a48cc61094c7c345b28762df79415873761bb9de</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>75</id>
    <parentid>74</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:01:08Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1308" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin-left:5px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #6699cc;padding:5px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>1bae38e173fe82e1a11bd1f10de8a31a37d22490</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>76</id>
    <parentid>75</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:02:51Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1308" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin-left:6px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #6699cc;padding:6px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>d33647f6b44054e9439aa8eadb439c293e431abb</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>77</id>
    <parentid>76</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:04:42Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1333" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin-left:6px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="width:100%;border:1px dashed #6699cc;padding:3px;margin:0 auto;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>d396944a0449814c186e2ae45cf434ae4bea62bb</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>80</id>
    <parentid>77</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:11:13Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1347" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #6699cc;padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin:0 auto;margin-left:6px;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="width:100%;border:1px dashed #6699cc;padding:3px;margin:0 auto;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>339b0e65213289b3d6db5403e520e955f0463b94</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>83</id>
    <parentid>80</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:16:14Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1335" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|стедствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color:#EEEEEE; border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color:#fdfdfd; border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin:6px auto;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="width:100%;border:1px dashed #6699cc;padding:4px;margin:0 auto;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>11f74dedc6e64d690c7844de6fa7ffda01bc1c99</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>94</id>
    <parentid>83</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T15:37:11Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1335" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на следствие можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|следствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div width="100%" style="width:100%;background-color:#EEEEEE; border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;'''Следствие''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color:#fdfdfd; border-left:3px solid #6699cc; padding:3px;"&gt;&lt;div style="margin:6px auto;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="width:100%;border:1px dashed #6699cc;padding:4px;margin:0 auto;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>772575fca44683033829f1716582d29bd31c695a</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Шаблон:Определение</title>
  <ns>10</ns>
  <id>6</id>
  <revision>
    <id>84</id>
    <parentid>40</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:17:30Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1100" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE";border-left:3px solid #336633; padding:3px;"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #336633;padding:3px;"&gt;
&lt;div style="margin: 4px auto;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>1a1a27a263ad166025b7298cdb4f6e1b2facdbde</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>85</id>
    <parentid>84</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:17:57Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1099" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #336633; padding:3px;"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #336633;padding:3px;"&gt;
&lt;div style="margin: 4px auto;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>a389309fd53ee7b4a68f5bca176ce6c7931819ff</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>86</id>
    <parentid>85</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:18:33Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1127" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на определение можно ссылаться из статьи. Например: [[Скалярное произведение векторов#def1 | определение скалярного произведения]]
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div style="width:100%;background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #336633; padding:3px;margin:0 auto;"&gt;'''Определение:'''&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%;background-color: #fcfcfc;border-left:3px solid #336633;padding:3px;margin:0 auto;"&gt;
&lt;div style="margin: 4px auto;width:100%;&gt;{{{definition}}}&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>007a509a286befa457d35564f8d27565c25b7482</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Шаблон:Теорема</title>
  <ns>10</ns>
  <id>3</id>
  <revision>
    <id>88</id>
    <parentid>39</parentid>
    <timestamp>2021-11-04T13:21:21Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1518" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.

[[Категория:Шаблоны]]
&lt;/noinclude&gt;
&lt;includeonly&gt;{{#if:{{{id|}}}|&lt;span id="{{{id}}}"&gt;&lt;/span&gt;|}}
&lt;div width="100%" style="background-color: #EEEEEE;border-left:3px solid #3333cc;padding:3px;"&gt;'''Теорема{{#if:{{{author|}}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{author}}}, {{{about}}})|&amp;nbsp;({{{author}}})}}|{{#if:{{{about|}}}|&amp;nbsp;({{{about}}})|}}}}''':&lt;/div&gt;
&lt;div style="width:100%; background-color: #fdfdfd;border-left:3px solid #3333cc;padding:3px;"&gt;
&lt;div style="margin:10px auto;width:100%;"&gt;{{{statement}}}&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
{{#if:{{{proof|}}}|&lt;div style="border:1px dashed #3333cc;padding:4px;"&gt;&lt;div&gt;'''Доказательство:'''&lt;/div&gt;
{{{proof}}} 
&lt;/div&gt;
&lt;div style="text-align:right;" width="100%"&gt;&lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;|}}
&lt;/includeonly&gt;</text>
    <sha1>d34d3f59daadbb8c05d8368d60019fcc49c578d2</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Самодвойственные функции</title>
  <ns>0</ns>
  <id>22</id>
  <revision>
    <id>90</id>
    <timestamp>2021-11-04T13:25:29Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition= Функция &lt;math&gt;f(x_1, ..., x_n)\in P_2&lt;/math&gt; {{---}} самодвойственная, если &lt;math&gt;f^*(x_1, ..., x...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="11760" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
Функция &lt;math&gt;f(x_1, ..., x_n)\in P_2&lt;/math&gt; {{---}} самодвойственная, если &lt;math&gt;f^*(x_1, ..., x_n) = f(x_1, ..., x_n)&lt;/math&gt;.
}}
Множество всех самодвойственных функций обозначим за &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;:
&lt;math&gt;S = \{ f | f(x_1, ..., x_n) \in P_2, f^*(x_1, ..., x_n) = f(x_1, ..., x_n) \}&lt;/math&gt;. 
{{Пример
|num=1
|content=
Пусть &lt;math&gt;f = x\vee y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f^* = \overline{\overline x \vee \overline y} = xy&lt;/math&gt;. 

&lt;math&gt;f\neq f^*&lt;/math&gt; и, следовательно, &lt;math&gt;f^*&lt;/math&gt; не является самодвойственной.
}}
{{Пример
|num=2
|content=
Пусть &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; {{---}} функция голосования: &lt;math&gt;f(x,y,z) = xy\vee xz\vee yz&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;f^*(x,y,z) = \overline{\overline x\cdot \overline y \vee \overline x\cdot \overline z \vee \overline y\cdot \overline z} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{\overline x\cdot \overline y} \cdot \overline{\overline x\cdot \overline z} \cdot \overline{\overline y\cdot \overline z} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= (x\vee y)(x\vee z)(y\vee z) &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= (x\vee xz\vee xy\vee yz)(y\vee z)&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= xy\vee xz \vee xyz \vee xz \vee xy\vee xyz \vee yz \vee yz &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= xy \vee xz \vee yz \vee xyz &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= xy \vee xz \vee yz = f(x,y,z).&lt;/math&gt;

Функция голосования {{---}} самодвойственная.
}}
Табличный вид функции голосования:
{|class="wikitable"
! x !! y !! z !! f(x,y,z)
|-
| 0 || 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 0 || 1 || 0
|-
| 0 || 1 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 0
|-
| 1 || 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 1 || 1
|}

Нижняя половина столбца значений повторяет перевернутую и инвертированную верхнюю. Это верно для любой самодвойственной функции.

== Принцип двойственности ==
{{Утверждение
|about=Принцип двойственности
|statement=
Пусть формула &lt;math&gt;\mathcal U = f(\mathcal U_1,...,\mathcal U_n)&lt;/math&gt; реализует функцию &lt;math&gt;F (x_1,...,x_m)&lt;/math&gt;, 
где &lt;math&gt;\mathcal U_i&lt;/math&gt; {{---}} формулы, реализующие  &lt;math&gt;f_{i}(x_{j_1},...,x_{j_{k_i}})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i=\overline{1,n}&lt;/math&gt;. 

Пусть &lt;math&gt;\mathcal U_i^*&lt;/math&gt; {{---}} формулы реализующие &lt;math&gt;f_{i}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i=\overline{1,n}&lt;/math&gt;. 

Тогда формула &lt;math&gt;\mathcal U^* = f^*(\mathcal U^*_1,...,\mathcal U^*_n)&lt;/math&gt; реализует функцию &lt;math&gt;F^*(x_1,...,x_m)&lt;/math&gt;.
|proof=
&lt;math&gt;F(x_1,...,x_m) = f(f_{1}(x_{i_1}, ..., x_{i_{k_1}}), ..., f_{n}(x_{j_1}, ..., x_{j_{k_n}})).&lt;/math&gt;

Тогда, по определению двойственной функции &lt;br /&gt;
&lt;math&gt;
F^*(x_1,...,x_m) = \overline f(f_{1}(\overline x_{i_1},...,\overline x_{i_{k_1}}), ..., f_{n}(\overline x_{j_1}, ..., \overline x_{j_{k_n}}))
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= \overline f(\overline {\overline f}_{1}(\overline x_{i_1},...,\overline x_{i_{k_1}}), ..., \overline {\overline f}_{n}(\overline x_{j_1},...,\overline x_{j_{k_n}}))
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= \overline f(\overline {f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}),...,\overline {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}}))
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= f^*({f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}})).
&lt;/math&gt;

С другой стороны, формула $f^*(\mathcal U_1^*,...,\mathcal U_n^*)$ реализует функцию 
&lt;math&gt;
f^*(f_{\mathcal U_1^*}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., f_{\mathcal U_n^*} (x_{j_1},...,x_{j_{k_n}}))  
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= f^*({f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}})).
&lt;/math&gt;

Таким образом, один из способов задать функцию &lt;math&gt;F^*(x_1, ...,x_m)&lt;/math&gt; формулой имеет вид &lt;math&gt;\mathcal U^* = f^*(\mathcal U_1^*, ..., \mathcal U_n^*)&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|num=3
|content=
Пусть &lt;math&gt;F(x,y,z) = (x\equiv y)\supset(y~|~z)= f(f_1(x,y),f_2(y,z))&lt;/math&gt;, &lt;br /&gt;
&lt;math&gt;f^*(x,y) = (x\supset y)^* = \overline{\overline x\supset\overline y}= \overline{x\vee \overline y} = \overline x y&lt;/math&gt;, &lt;br /&gt; 
&lt;math&gt;f_1^*(x,y) = (x\equiv y)^* = \overline{\overline x\equiv \overline y} =  \overline{x\equiv y} = x\oplus y&lt;/math&gt;, &lt;br /&gt;
&lt;math&gt;f_2^*(x,y) = (x~|~ y)^* = \overline{\overline x~|~\overline y} =  \overline{x\vee y} = \overline x\wedge \overline y = x\downarrow y&lt;/math&gt;.

Тогда по принципу двойственности  &lt;math&gt;F^*(x,y,z)&lt;/math&gt; будет иметь вид
&lt;math&gt;F^*(x,y,z) = f^*(f_1^*(x,y),f_2^*(y,z)) = \overline{(x\oplus y)}\wedge (y\downarrow z)&lt;/math&gt;.

Действительно,
&lt;math&gt;F^*(x,y,z) =  \neg {((\overline x\equiv \overline y)\supset(\overline y~|~\overline z))} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \neg (\overline{(x\equiv y)}\vee(y\vee z)) &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{\overline{(x\equiv y)}}\wedge\overline{(y\vee z)} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{(x\oplus y)}\wedge (y\downarrow z)&lt;/math&gt;.
}}
{{Следствие
|statement=
Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; задана формулой &lt;math&gt;\mathcal U&lt;/math&gt; над множеством функций &lt;math&gt;\{0,1, \neg, \vee,\wedge\}&lt;/math&gt;.
Тогда &lt;math&gt;f^*(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; задается формулой, полученной из &lt;math&gt;\mathcal U&lt;/math&gt; заменой: нулей на единицы, единиц на нули, конъюнкций на дизъюнкции, дизъюнкций на конъюнкции.
|proof=
Пусть &lt;math&gt;f=\neg f_1&lt;/math&gt;. 
Это значит, что &lt;math&gt;f = f_0(f_1)&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;f_0(x) = \overline x&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;f_0^* = \overline{\overline{\overline x}} = \overline x = f_0&lt;/math&gt;.

Следовательно, &lt;math&gt;f^* = f_0^*(f_1^*) = f_0(f_1^*) = \neg f_1^*&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = f_1\vee f_2&lt;/math&gt;. Другими словами, &lt;math&gt;f = f_0(f_1,f_2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_0(x,y) = x\vee y&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;f_0^* = \overline{\overline x \vee \overline y} = x\wedge y&lt;/math&gt; и
&lt;math&gt;f^* = f_0^*(f_1^*, f_2^*) = f_1^*\wedge f_2^*&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = f_1\wedge f_2&lt;/math&gt;. Другими словами, &lt;math&gt;f = f_0(f_1,f_2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_0(x,y) = x\wedge y&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;f_0^* = \overline{\overline x \wedge \overline y} = x\vee y&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;f^* = f_0^*(f_1^*, f_2^*) = f_1^*\vee f_2^*&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = 0&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f^* = 1&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f=1&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f^* = 0&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = x&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f^* = \overline{\overline x}=x = f&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|num=4
|content=
Пусть, &lt;math&gt;f(x,y,z) = 0\wedge x\wedge \overline y\vee 1\wedge y\wedge \overline z&lt;/math&gt;.

Тогда,
&lt;math&gt;
f^*(x,y,z) = \overline f(\overline x, \overline y, \overline z) 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=\neg(0\wedge \overline x\wedge\overline{\overline  y} \vee 1 \wedge \overline y\wedge \overline{ \overline z})
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{(0\wedge \overline x\wedge y)} \wedge\overline{(1 \wedge \overline y\wedge z)} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= (1 \vee x \vee \overline y)\wedge (0\vee y \vee \overline z)&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|num=5
|content=
Пусть &lt;math&gt;f(x,y,z) = (\overline{0\vee x})(y\vee \overline x z)&lt;/math&gt;.

Тогда
&lt;math&gt;f^*(x,y,z) = \neg((\overline{0\vee \overline x})(\overline y\vee \overline{\overline x}\wedge \overline z))&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=\neg(1\wedge x)(\overline y\vee  x\wedge \overline z))&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=(\overline{1\wedge x})\vee(\overline{\overline y\vee  x\wedge \overline z}))&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=(\overline{1\wedge x})\vee(y\wedge ( \overline x\vee z)))&lt;/math&gt;.
}}

== Замкнутость класса ==

{{Утверждение
|statement=
Класс функций &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; замкнут.
|proof=
Рассмотрим суперпозицию ранга 1 от функций из &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

a) Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in S&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y) = f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;.

Тогда 
&lt;math&gt;\overline g(\overline x_1,...,\overline x_{j-1},\overline x_{j+1},...,\overline x_n, \overline y) &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1},\overline y,\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f^*(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)&lt;/math&gt;.

Следовательно &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)\in S&lt;/math&gt;.

b) Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in S&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;h(y_1, ...,y_m)\in S&lt;/math&gt; и
&lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=f(x_1,...,x_{j-1},h(y_1,...,y_{m}),x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;.

Тогда 
&lt;math&gt;\overline g(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline x_{j+1},...,\overline x_n, \overline y_1,...,\overline y_m)&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, h(\overline y_1,...,\overline y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline{\overline h}(\overline y_1,...,\overline y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline{ h^*}( y_1,...,y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f^*(x_1,..., x_{j-1}, { h^*}( y_1,...,y_{m}), x_{j+1},..., x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f(x_1,..., x_{j-1}, { h}( y_1,...,y_{m}), x_{j+1},..., x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)&lt;/math&gt;.

Получаем, что &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)\in S&lt;/math&gt;.

Таким образом, &lt;math&gt;[S] = S&lt;/math&gt;.
}}
{{Замечание
|content=
Тождественная функция $f(x)=x$ лежит в классе $S$.

Конъюнкция $f(x) = x \wedge y$ не лежит в $S$.

Таким образом, $S\neq \varnothing$ и $S\neq P_2$.
}}
{{Лемма
|about=о несамодвойственной функции
|statement=
Пусть &lt;math&gt;f(x_1, ..., x_n) \notin S&lt;/math&gt;. Тогда, подставляя в &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; вместо аргументов переменные &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; и их отрицание &lt;math&gt;\overline x&lt;/math&gt;, можно получить константу.
|proof=
Пусть &lt;math&gt;(\alpha_1,...,\alpha_n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\alpha_i\in\{0,1\}&lt;/math&gt;, такой набор, что &lt;math&gt;f(\alpha_1,...,\alpha_n) = f(\overline \alpha_1,...,\overline\alpha_n)&lt;/math&gt;.
Такой набор обязан существовать в силу несамодвойственности функции &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.

Рассмотрим функцию &lt;math&gt;\varphi(x) = f(x^{\alpha_1}, ..., x^{\alpha_n})&lt;/math&gt;. 

Тогда 
&lt;math&gt;\varphi(0) = f(0^{\alpha_1}, ..., 0^{\alpha_n}) =  f({\alpha_1}^0,...,{\alpha_n}^0) =  f(\overline\alpha_1,...,\overline \alpha_n)  &lt;/math&gt;
&lt;math&gt; = f(\alpha_1,...,\alpha_n) =  f(1^{\alpha_1},...,1^{\alpha_n}) = \varphi(1)&lt;/math&gt;.

Следовательно $\varphi(x)$ {{---}} константа.
}}
{{Пример
|content=
Получение константы из несамодвойственной функции

Пусть &lt;math&gt;f(x,y,z) = x\supset (y\oplus z)&lt;/math&gt;. 

Это несамодвойственная функция, поскольку &lt;math&gt;f(0,1,0) = 0\supset (1\oplus 0) =1= 1\supset (0\oplus 1) =f(1,0,1)&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;\varphi(x) = f(\overline x, x, \overline x)&lt;/math&gt; {{---}} константа. 

Действительно, &lt;math&gt;\varphi(x) = \overline x\supset(x\oplus \overline x) =  \overline x\supset 1 = 1&lt;/math&gt;.
}}</text>
    <sha1>1883acf452d9adcf5d5aa50d82a40836ce3f19ab</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Справка:Шаблоны</title>
  <ns>12</ns>
  <id>23</id>
  <revision>
    <id>95</id>
    <timestamp>2021-11-04T15:47:28Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «== Определение == Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]: &lt;pre&gt; {{Определен...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5449" xml:space="preserve">== Определение ==
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
*Если указан id, то на определение можно ссылаться (по &amp;#91;&amp;#91;#def1|определению такому-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Определение
|definition = Пример определения...
}}

== Утверждение ==
Использование шаблона [[Шаблон:Утверждение|Утверждение]]:
&lt;pre&gt;
{{Утверждение
|id=идентификатор (необязательно), пример: Prop1. 
|author=Автор утверждения (необязательно)
|about=О чем утверждение(необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на утверждение можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Prop1|утверждению такому-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Утверждение
|statement=Пример утверждения. Формулировка...
|proof=Текст доказательства утверждения...
}}

== Лемма ==
Использование шаблона [[Шаблон:Лемма|Лемма]]:
&lt;pre&gt;
{{Лемма
|id=идентификатор (необязательно), пример: Lem1. 
|about=О чем лемма (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на лемму можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Lem1|лемме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Лемма
|statement=Пример формулировки леммы...
|proof=Текст доказательства леммы...
}}

== Теорема ==
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Теорема
|about=Неравенство Коши-Буняковского
|statement=
Пусть дано линейное пространство &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; со скалярным произведением &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;. Пусть &lt;math&gt;\|x\|&lt;/math&gt; {{---}} норма, порождённая скалярным произведением, то есть &lt;math&gt;\|x\|\equiv\sqrt{( x, x)},\;\forall x\in L&lt;/math&gt;. Тогда для любых &lt;math&gt;x, y\in L&lt;/math&gt; имеем:
&lt;math&gt;|( x, y)| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,&lt;/math&gt;
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; линейно зависимы.
|proof=Текст доказательства теоремы...
}}

== Следствие ==
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|следствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Следствие
|statement=Пример формулировки...
|proof=Текст доказательства...
}}

== Замечание ==
Использование шаблона [[Шаблон:Замечание|Замечание]]:
&lt;pre&gt;
{{Замечание
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;
{{Замечание
|content=Текст замечание...
}}

== Пример ==
Использование шаблона [[Шаблон:Пример|Пример]]:
&lt;pre&gt;
{{Пример
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;
{{Пример
|num=1
|content=Текст примера...
}}

[[Категория:Справка]]</text>
    <sha1>460d2de6e51ae73700bf0a54ddf91c39077e2e04</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Категория:Справка</title>
  <ns>14</ns>
  <id>24</id>
  <revision>
    <id>96</id>
    <timestamp>2021-11-04T15:47:44Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Математический анализ</title>
  <ns>0</ns>
  <id>25</id>
  <revision>
    <id>97</id>
    <timestamp>2021-11-04T21:29:46Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «== Очерк теории чисел == * [[Элементы теории множеств]] * [[Символика математической логики]] *...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8480" xml:space="preserve">== Очерк теории чисел ==
* [[Элементы теории множеств]]
* [[Символика математической логики]]
* [[Натуральные и рациональные числа]]
* [[Аксиомы Пеано]]
* [[Операции с натуральными и рациональными числами]]
* [[Аксиомы поля рациональных чисел]]
* [[Сечение множества рациональных чисел]]
* [[Вещественные числа]]
* [[Операции с вещественными числами]]
* [[Ограниченные числовые множества]]
* [[Точные верхняя и нижняя грани множества]]
* [[Принцип Коши-Кантора (о вложенных промежутках)]]
* [[Лемма Бореля–Лебега о покрытиях множества]]
* [[Счетные множества и множества мощности континуума]]
* [[Комплексные числа, операции с комплексными числами]]

== Числовые последовательности ==
* [[Понятие последовательности чисел]]
* [[Монотонные последовательности]]
* [[Ограниченные последовательности]]
* [[Предел последовательности]]
* [[Теорема о единственности предела]]
* [[Теорема об ограниченности сходящейся последовательности]]
* [[Арифметические свойства пределов последовательностей]]
* [[Связь предела последовательности чисел и предела последовательности модулей этих чисел]]
* [[Предел последовательности неотрицательных чисел]]
* [[Связь предела последовательности с пределами мажорантной и минорантной последовательностями]]
* [[Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности]]
* [[Число е]]
* [[Подпоследовательности]]
* [[Теорема Больцано–Вейерштрасса]]
* [[Теорема об ограниченной расходящейся последовательности]]
* [[Принцип сходимости Коши–Больцано]]
* [[Частичные пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы последовательности]]
* [[Сходимость к бесконечности]]
* [[Теорема о монотонной неограниченной последовательности]]
* [[Свойства последовательностей с бесконечным пределом]]
* [[Типы неопределенностей при вычислении пределов последовательностей]]
* [[Теорема Штольца]]
* [[Предел последовательностей комплексных чисел]]
* [[Связь с вещественными последовательностями]]

== Функции вещественного аргумента ==
* [[Понятие функции]]
* [[Предельная точка числового множества]]
* [[Предел функции по Гейне]]
* [[Односторонние пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы]]
* [[Арифметические свойства предела]]
* [[Теорема о пределе сложной функции]]
* [[Теорема о пределе монотонной функции]]
* [[Теорема о функции, не имеющей предела]]
* [[Предел функции по Коши]]
* [[Теорема об эквивалентности двух определений предела функции]]
* [[Критерий сходимости Коши]]
* [[Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин]]
* [[Эквивалентные функции]]
* [[Замечательные пределы]]
* [[Непрерывность функций]]
* [[Равномерная непрерывность]]
* [[Теорема Кантора]]
* [[Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях]] 
* [[Теоремы Больцано–Коши о нуле функции и о промежуточных значениях]]
* [[Теорема о непрерывности обратной функции]]
* [[Теорема о строгой монотонности взаимнооднозначной непрерывной функции]]
* [[Классификация разрывов функции]]

== Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента ==
* [[Производная функции]]
* [[Теорема о непрерывности дифференцируемой функции]]
* [[Геометрический и физический смысл производной]]
* [[Уравнение касательной и нормали]]
* [[Таблица элементарных производных]]
* [[Арифметические свойства дифференцируемых функций]]
* [[Производная сложной функции]]
* [[Производная обратной функции]]
* [[Локальные и глобальные экстремумы функций]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Ролля]]
* [[Теорема Лагранжа]]
* [[Теорема Коши]] 
* [[Исследование поведения функции]]
* [[Теорема о монотонной функции]]
* [[Необходимые и достаточные условия экстремумов]]
* [[Производные старшего порядка]]
* [[Формула Лейбница]]
* [[Формула Тейлора]]
* [[Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей]]
* [[Выпуклость и вогнутость функций]]
* [[Теоремы о касательных]]
* [[Точки перегиба функций]]
* [[Исследование функций и построение графиков]]
* [[Дифференциалы функции]]
* [[Инвариантность формы первого дифференциала]]
* [[Производная функции, заданной неявно или параметрически]]
* [[Методы приближенного поиска корней алгебраических уравнений]]
* [[Интерполяция и регрессия]]

== Функциональные ряды ==
*[[Степенные ряды]]
*[[Комплексные ряды]]
*[[Аппроксимация непрерывных функций степенными полиномами]]
*[[Ряды Фурье]]
*[[Сходимость классического ряда Фурье]]
*[[Сходимость в среднем рядов Фурье]]
*[[Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье]]
*[[Аппроксимация непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами]]
*[[Обобщенное суммирование рядов]]
*[[Бесконечные произведения]]

== Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса ==
*[[Функции ограниченной вариации]]
*[[Интеграл Стилтьеса]]

== Функции нескольких переменных ==
*[[Метрические пространства]]
*[[Пространство Rn]]
*[[Последовательности в пространстве Rn]]
*[[Функции нескольких переменных. Предел функции]]
*[[Непрерывные функции]]</text>
    <sha1>e46ff30547a23e4ac36b91deac04edeb8c6ccbc1</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>98</id>
    <parentid>97</parentid>
    <timestamp>2021-11-05T09:32:24Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>/* Функции нескольких переменных */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="10576" xml:space="preserve">== Очерк теории чисел ==
* [[Элементы теории множеств]]
* [[Символика математической логики]]
* [[Натуральные и рациональные числа]]
* [[Аксиомы Пеано]]
* [[Операции с натуральными и рациональными числами]]
* [[Аксиомы поля рациональных чисел]]
* [[Сечение множества рациональных чисел]]
* [[Вещественные числа]]
* [[Операции с вещественными числами]]
* [[Ограниченные числовые множества]]
* [[Точные верхняя и нижняя грани множества]]
* [[Принцип Коши-Кантора (о вложенных промежутках)]]
* [[Лемма Бореля–Лебега о покрытиях множества]]
* [[Счетные множества и множества мощности континуума]]
* [[Комплексные числа, операции с комплексными числами]]

== Числовые последовательности ==
* [[Понятие последовательности чисел]]
* [[Монотонные последовательности]]
* [[Ограниченные последовательности]]
* [[Предел последовательности]]
* [[Теорема о единственности предела]]
* [[Теорема об ограниченности сходящейся последовательности]]
* [[Арифметические свойства пределов последовательностей]]
* [[Связь предела последовательности чисел и предела последовательности модулей этих чисел]]
* [[Предел последовательности неотрицательных чисел]]
* [[Связь предела последовательности с пределами мажорантной и минорантной последовательностями]]
* [[Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности]]
* [[Число е]]
* [[Подпоследовательности]]
* [[Теорема Больцано–Вейерштрасса]]
* [[Теорема об ограниченной расходящейся последовательности]]
* [[Принцип сходимости Коши–Больцано]]
* [[Частичные пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы последовательности]]
* [[Сходимость к бесконечности]]
* [[Теорема о монотонной неограниченной последовательности]]
* [[Свойства последовательностей с бесконечным пределом]]
* [[Типы неопределенностей при вычислении пределов последовательностей]]
* [[Теорема Штольца]]
* [[Предел последовательностей комплексных чисел]]
* [[Связь с вещественными последовательностями]]

== Функции вещественного аргумента ==
* [[Понятие функции]]
* [[Предельная точка числового множества]]
* [[Предел функции по Гейне]]
* [[Односторонние пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы]]
* [[Арифметические свойства предела]]
* [[Теорема о пределе сложной функции]]
* [[Теорема о пределе монотонной функции]]
* [[Теорема о функции, не имеющей предела]]
* [[Предел функции по Коши]]
* [[Теорема об эквивалентности двух определений предела функции]]
* [[Критерий сходимости Коши]]
* [[Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин]]
* [[Эквивалентные функции]]
* [[Замечательные пределы]]
* [[Непрерывность функций]]
* [[Равномерная непрерывность]]
* [[Теорема Кантора]]
* [[Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях]] 
* [[Теоремы Больцано–Коши о нуле функции и о промежуточных значениях]]
* [[Теорема о непрерывности обратной функции]]
* [[Теорема о строгой монотонности взаимнооднозначной непрерывной функции]]
* [[Классификация разрывов функции]]

== Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента ==
* [[Производная функции]]
* [[Теорема о непрерывности дифференцируемой функции]]
* [[Геометрический и физический смысл производной]]
* [[Уравнение касательной и нормали]]
* [[Таблица элементарных производных]]
* [[Арифметические свойства дифференцируемых функций]]
* [[Производная сложной функции]]
* [[Производная обратной функции]]
* [[Локальные и глобальные экстремумы функций]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Ролля]]
* [[Теорема Лагранжа]]
* [[Теорема Коши]] 
* [[Исследование поведения функции]]
* [[Теорема о монотонной функции]]
* [[Необходимые и достаточные условия экстремумов]]
* [[Производные старшего порядка]]
* [[Формула Лейбница]]
* [[Формула Тейлора]]
* [[Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей]]
* [[Выпуклость и вогнутость функций]]
* [[Теоремы о касательных]]
* [[Точки перегиба функций]]
* [[Исследование функций и построение графиков]]
* [[Дифференциалы функции]]
* [[Инвариантность формы первого дифференциала]]
* [[Производная функции, заданной неявно или параметрически]]
* [[Методы приближенного поиска корней алгебраических уравнений]]
* [[Интерполяция и регрессия]]

== Функциональные ряды ==
*[[Степенные ряды]]
*[[Комплексные ряды]]
*[[Аппроксимация непрерывных функций степенными полиномами]]
*[[Ряды Фурье]]
*[[Сходимость классического ряда Фурье]]
*[[Сходимость в среднем рядов Фурье]]
*[[Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье]]
*[[Аппроксимация непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами]]
*[[Обобщенное суммирование рядов]]
*[[Бесконечные произведения]]

== Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса ==
*[[Функции ограниченной вариации]]
*[[Интеграл Стилтьеса]]

== Функции нескольких переменных ==
*[[Метрические пространства]]
*[[Пространство Rn]]
*[[Последовательности в пространстве Rn]]
*[[Функции нескольких переменных. Предел функции]]
*[[Непрерывные функции]]
*[[Дифференцируемость функций]]
*[[Производные сложной функций]]
*[[Производные по направлению]]
*[[Производные и дифференциалы старшего порядка]]
*[[Экстремумы функции нескольких переменных]]
*[[Численные методы поиска экстремума]]
*[[Теорема о неявной функции]]
*[[Системы функций]]
*[[Теорема о системе неявных функций]]
*[[Условный экстремум]]
*[[Касательные и нормали в трехмерном пространстве]]

== Интегральное исчисление функций нескольких переменных ==
*[[Двойной интеграл]]
*[[Правила вычисления двойного интеграла]]
*[[Криволинейные интегралы 1-ого рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру]]
*[[Замена переменных в двойном интеграле]]
*[[Площадь криволинейной поверхности]]
*[[Поверхностные интегралы первого рода]]
*[[Поверхностные интегралы второго рода]]
*[[Формула Стокса]]
*[[Тройной интеграл]]
*[[Формула Остроградского-Гаусса]]
*[[Элементы теории поля]]

== Интегралы, зависящие от параметра ==
*[[Равномерная сходимость функций]]
*[[Собственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Несобственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Интегралы Лапласа]]
*[[Эйлеровы интегралы]]
*[[Интеграл Фурье]]</text>
    <sha1>4cface58ac5e9a6483e4eee088ec55297a4a0667</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Эйлеровы интегралы</title>
  <ns>0</ns>
  <id>26</id>
  <revision>
    <id>99</id>
    <timestamp>2021-11-05T09:46:06Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «== Бетта-функция == {{Определение |definition= Функция вида &lt;math&gt;B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx&lt;/math&gt; называет...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4021" xml:space="preserve">== Бетта-функция ==
{{Определение
|definition=
Функция вида &lt;math&gt;B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx&lt;/math&gt; называется '''Бетта-функцией''' или '''Эйлеровым интегралом первого рода'''.
}}
Этот интеграл сходится при &lt;math&gt;a \gt 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b \gt 0&lt;/math&gt; (если &lt;math&gt;a \geq 1&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;b \geq 1&lt;/math&gt;, то интеграл будет собственным, в противном случае, возникнет несобственность второго рода в точках
&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; и/или &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;). Заметим, что подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином. Следовательно, согласно [[Теорема Чебышева|теореме Чебышева]], если хотя бы одно из чисел
&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a+b&lt;/math&gt; является целым, то &amp;quot;Бетта-функция&amp;quot; задается &amp;quot;берущимся&amp;quot; интегралом, и ее можно записать в явном виде с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 
Если ни одно из указанных чисел не целое, то рассматриваемый интеграл {{---}} &amp;quot;неберущийся&amp;quot;.

=== Свойства Бетта-функции ===
* &lt;math&gt;B(a,b)=B(b,a)&lt;/math&gt;
* если &lt;math&gt;b \gt 1&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}B(a,b-1)&lt;/math&gt;.

Применяя свойства, получаем, что если &lt;math&gt;b \gt n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a \gt m&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;m,n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;), то
: &lt;math&gt;B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}\ldots \frac{b-n}{a+b-n}B(a,b-n)&lt;/math&gt;,
: &lt;math&gt;B(a,b)=\frac{a-1}{a+b-1}\ldots \frac{a-m}{a+b-m}B(a-m,b)&lt;/math&gt;.

Таким образом, без потери общности, Бетта-функцию достаточно рассматривать при значениях параметров &lt;math&gt;a\in(0,1]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b\in(0,1]&lt;/math&gt;.

== Гамма-функция ==
{{Определение
|definition=
Функция вида &lt;math&gt;\Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx &lt;/math&gt;
называется '''Гамма-функцией''' или '''Эйлеровым интегралом второго рода'''.
}}
Этот интеграл сходится при &lt;math&gt;a \gt 0&lt;/math&gt; (если &lt;math&gt;a \geq 1&lt;/math&gt;, то имеется только несобственность первого рода, при &lt;math&gt;a \lt 1&lt;/math&gt; возникает еще несобственность второго рода в точке &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;).

=== Свойства Гамма-функции ===
* &lt;math&gt;\Gamma^{(n)}(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}\,\ln^{n}x\,e^{-x}\,dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)&lt;/math&gt; (как следствие, достаточно рассматривать "Гамма-функцию" при &lt;math&gt;a\in(0,1]&lt;/math&gt;, более того, используя данную рекуррентную формулу, можно доопределить
&amp;quot;Гамма-функцию&amp;quot; при &lt;math&gt;a \lt 0&lt;/math&gt;)
* &lt;math&gt;\Gamma(n+1)=n!&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=0,1,\ldots&lt;/math&gt;
* существует &lt;math&gt;c\in(1,2)&lt;/math&gt;, такое что Гамма-функция убывает на интервале &lt;math&gt;(0,c]&lt;/math&gt; и возрастает на интервале &lt;math&gt;[c,+\infty)&lt;/math&gt;, при этом
&lt;math&gt;\lim\limits_{a\to+0}\Gamma(a)=+\infty&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\lim\limits_{a\to+\infty}\Gamma(a)=+\infty&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\Gamma(a)\Gamma(1-a)=\frac{\pi}{\sin a\pi}&lt;/math&gt; при &lt;math&gt;a\in(0,1]&lt;/math&gt; (формула дополнения)
* &lt;math&gt;\Gamma(a)\Gamma(a+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2a-1}}\Gamma(2a)&lt;/math&gt; при &lt;math&gt;a \gt 0&lt;/math&gt; (формула Лежандра)</text>
    <sha1>5c2c40ae678ad24102bfaa4bc1d51b56d0d6d7e0</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Заглавная страница</title>
  <ns>0</ns>
  <id>1</id>
  <revision>
    <id>100</id>
    <parentid>5</parentid>
    <timestamp>2021-11-05T09:57:30Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="4505" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>101</id>
    <parentid>100</parentid>
    <timestamp>2021-11-05T10:13:44Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="6062" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>102</id>
    <parentid>101</parentid>
    <timestamp>2021-11-05T10:16:39Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="5811" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>104</id>
    <parentid>102</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T16:56:25Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="5944" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>105</id>
    <parentid>104</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T16:59:20Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="5944" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Справка:Инструкции</title>
  <ns>12</ns>
  <id>27</id>
  <revision>
    <id>103</id>
    <timestamp>2021-11-06T16:49:47Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Инструкции и требования к написанию вики-конспектов  # Для внесения конспектов нужно зар...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="6898" xml:space="preserve">Инструкции и требования к написанию вики-конспектов

# Для внесения конспектов нужно зарегистрироваться на сайте и написать в информации о себе имя, фамилию и группу.
# На данный момент регистрация осуществляется через преподавателей:[mailto:s.pogozhev@spbu.ru Погожев Сергей Владимирович].
# Внимательно читайте свои конспекты перед тем, как совершать попытку их сдачи. Рекомендуется читать конспекты друг друга перед отправкой на проверку, так как это позволит значительно уменьшить количество итераций сдачи конспекта.
# Не забывайте сообщать преподавателям/редакторам/кураторам о том, что конспект нужно проверить. При общении с редактором давайте ссылку на конспект, который вы пишете. При использовании электронной почты в теме письма указывайте, пожалуйста, “Вики-конспекты: ''Название вики-конспекта''”. 
# Редактировать можно не только свои конспекты.

== Викификация ==
# В конспекте не должно быть орфографических, пунктуационных, речевых, фактических, логических и других ошибок.
# Используйте вики-шаблоны [[Шаблон: Определение]], [[Шаблон: Теорема]], [[Шаблон: Лемма]], [[Шаблон: Утверждение]], [[Шаблон: Следствие]], [[Шаблон: Замечание]], [[Шаблон: Пример]] ([[Справка:Шаблоны|Справка по шаблонам]]).
# Вместо черточки “-” используйте тире “{{---}}”. Для этого можно использовать [[Шаблон:---]]. Про правила использования читать [http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/sections/97/ здесь]
# Приводите английские названия терминов, теорем, имен алгоритмов и т.д. Их лучше писать в скобках курсивом после их русских названий.
# Не используйте без нужды тег &lt;nowiki&gt; &lt;br&gt; &lt;/nowiki&gt;. Для перевода строки в вики надо вставлять пустую строку.
# Ставьте категорию, например, &lt;nowiki&gt;[[Категория: Дискретная математика]]&lt;/nowiki&gt;.
# Оформляйте ссылки на источники [http://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:Ссылки_на_источники правильно]. 

== Картинки ==
# Предпочтительный формат картинок {{---}} векторный. Для этого можно пользоваться Microsoft Visio, Inkscape, Graphviz, Metapost и т.п.

== Источники информации==
# Используйте ссылки на другие конспекты.
# В конспекте должны быть указаны источники или литература. Причем указывать ссылки не просто на википедию, а на конкретную статью (как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись], на английскую {{---}} как [http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_notation Wikipedia {{---}} Scientific notation]). Для книг достаточно указать автора, название, издание и номер страницы.
# Нарушения авторского права недопустимы.

== TeX ==
# Формулы обязательно помещаются в тег &lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/nowiki&gt;.
# [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B Википедия:Формулы]
# [https://ru.overleaf.com/learn/latex/Questions/Are_there_any_tools_to_help_transcribe_mathematical_formulae_into_LaTeX%3F Are there any tools to help transcribe mathematical formulae into LaTeX?]
# В качестве знака умножения нужно использовать &lt;code&gt;\times&lt;/code&gt; или &lt;code&gt;\cdot&lt;/code&gt;, а не звездочку. Не следует писать &lt;math&gt;2 * 2 = 4 &lt;/math&gt;, нужно &lt;math&gt;2 \times 2 = 4&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;2 \cdot 2 = 4&lt;/math&gt;.
# Не опускайте знаки умножения, конъюнкции, скобки и т.п., если это может привести к неоднозначности.

== Псевдокод ==
# Используйте максимально компактный и читаемый псевдокод.
# Не ставьте фигурные скобки. Используйте отступы для группировки.
# Не ставьте круглые скобки вокруг внешнего условия if'а, while'а и т.п.
# Обозначайте присвоение с помощью знака «=», а сравнение как «==».
# TeX в псевдокоде можно использовать только в случае какого-то нестандартного оператора(а перед этим хорошо подумать и посмотреть предыдущий пункт).
# Оформляйте псевдокод как функцию, принимающую входные данные и возвращающую результат.
# Ставьте пробелы между операндами и бинарными операторами(«1 + 2», а не «1+2»). После унарных операторов перед операндом пробел ставить не нужно.
# Ставьте пробел после запятой, разделяющей аргументы функции.
# Используем какой-то определённый стиль именования переменных(например, lowerCamelCase для переменных и функций, а UpperCamelCase для классов).

[[Категория:Справка]]</text>
    <sha1>192d943b0529a15a2b2a216dedf527523485408b</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Алгебра и геометрия</title>
  <ns>0</ns>
  <id>2</id>
  <revision>
    <id>106</id>
    <parentid>4</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:04:01Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8859" xml:space="preserve">
== Полиномы и их корни ==
* [[Комплексные числа]]
* [[Теорема Безу]]
* [[Схема Горнера]]
* [[Разложение полинома на множители]]
* [[Наибольший общий делитель полиномов]]
* [[Полиномы с вещественными коэффициентами]]
* [[Рациональные дроби]]

== Матрицы и определители ==
* [[Матрицы и операции с ними]]
* [[Определители второго и третьего порядка]]
* [[Перестановки]]
* [[Определители порядка n]]
* [[Алгебраические дополнения и миноры]]
* [[Определитель ступенчатой матрицы]]
* [[Блочные матрицы]]
* [[Определитель произведения двух матриц]]
* [[Обратная матрица]]
* [[Ортогональные матрицы]]
* [[Характеристический полином матрицы]]

== Линейные пространства ==
*[[Линейные операции над векторами]]
* [[Линеал]]
* [[Линейная зависимость и независимость векторов]]
* [[Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве]]
* [[Базис и размерность линеала]]
* [[Ранг матрицы]]
* [[Изоморфизм линеалов]]
* [[Аффинные пространства]]
* [[Аффинные системы координатa]]
* [[Геометрический смысл аффинных координат]]
* [[Декартовые прямоугольные системы координат]]
* [[Полярная система координат]]
* [[Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Сферические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Деление вектора в заданном отношении]]
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Евклидовы, нормированные и метрические пространства]]
* [[Векторное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение трех векторов]]
* [[Двойное векторное произведение]]
== Системы линейных уравнений ==
* [[Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений]]
* [[Системы линейных уравнений с квадратной матрицей]]
* [[Структура общего решения однородной системы линейных уравнений]]
* [[Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений]]
* [[Метод Гаусса]]
* [[Геометрический смысл систем линейных уравнений]]
* [[Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости]]
* [[Геометрический смысл систем линейных неравенств]]
* [[Нормированное уравнение плоскости (прямой)]]
* [[Пучки плоскостей (прямых на плоскости)]]
* [[Взаимное расположение прямых и плоскостей]]

== Квадратичные формы ==
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду]]
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования]]
* [[Положительно определенные квадратичные формы]]
* [[Закон инерции]]
* [[Собственные значения и собственные векторы матрицы]]
* [[Подобные матрицы]]
* [[Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду]]
* [[Унитарные матрицы]]
* [[Эрмитовы формы]]

== Преобразование координат ==
* [[Преобразование декартовых прямоугольных координат]]
* [[Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве]]
* [[Преобразование аффинных координат]]
* [[Линии и поверхности второго порядка]]
* [[Алгебраические линии и поверхности]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах]]
* [[Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду]]
* [[Классификация линий второго порядка]]
* [[Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат]]
* [[Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов]]
* [[Поверхности вращения]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Гиперболоиды]]
* [[Параболоиды]]
* [[Цилиндрические поверхности]]
* [[Конические поверхности]]

== Элементы общей теории кривых и поверхностей ==
* [[Векторная функция скалярного аргумента]]
* [[Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции]]
* [[Понятие кривой]]
* [[Касательная к кривой]]
* [[Нормальная плоскость кривой]]
* [[Соприкасающаяся плоскость кривой]]
* [[Спрямляющая плоскость кривой]]
* [[Нормаль]]
* [[Главная нормаль]]
* [[Бинормаль]]
* [[Длина дуги кривой]]
* [[Естественная параметризация]]
* [[Кривизна кривой]]
* [[Кручение кривой]]
* [[Формулы Френе]]
* [[Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника]]
* [[Натуральные уравнения кривой]]
* [[Понятие поверхности]]
* [[Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности]]
* [[Первая квадратичная форма]]
* [[Длина дуги кривой на поверхности]]
* [[Угол между кривыми на поверхности]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Вторая квадратичная форма поверхности]]
* [[Кривизна кривой, лежащей на поверхности]]

== Геометрическая структура систем линейных уравнений ==
* [[Линейные подпространства]]
* [[Сумма и пересечение линейных подпространств]]
* [[Многомерные плоскости]]
* [[Взаимное расположение многомерных плоскостей]]

== Геометрическая структура систем линейных неравенств ==
* [[Выпуклые множества]]
* [[Выпуклые конусы]]
* [[Отделимость выпуклых множеств]]
* [[Конечные конусы]]
* [[Выпуклое многогранное множество]]
* [[Грани многогранного множества]]
* [[Параметрическое уравнение многогранного множества]]
* [[Геометрия задачи линейного программирования]]

== Практика ==
* [[Задачи по высшей алгебре]]
* [[Задачи по аналитической геометрии]]</text>
    <sha1>7ad7881e5c5a194b7e680c2e3e0febf64908fb45</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211028101928|59">
  <title>Задачи по высшей алгебре</title>
  <ns>0</ns>
  <id>28</id>
  <revision>
    <id>107</id>
    <timestamp>2021-11-06T17:17:05Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. Серия "Учебники для вузов. Специальн...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1041" xml:space="preserve">Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. Серия "Учебники для вузов. Специальная литература". {{---}} СПб.: Издательство "Лань", 1999. {{---}} 288 с.

== Комплексные числа ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 120|Задача 120]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 182|Задача 182]]

== Действия над матрицами и определители ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 281|Задача 281]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 285|Задача 285]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 307|Задача 307]]

== Системы линейных уравнений, матрицы, квадратичные формы ==

== Алгебра полиномов ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 617|Задача 617]]

[[Категория:Алгебра и геометрия]]</text>
    <sha1>700f094071ba0241869add180c41f214f7deacdb</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>108</id>
    <parentid>107</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:17:57Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1041" xml:space="preserve">Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. Серия "Учебники для вузов. Специальная литература". {{---}} СПб.: Издательство "Лань", 1999. {{---}} 288 с.

== Комплексные числа ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 121|Задача 121]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 182|Задача 182]]

== Действия над матрицами и определители ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 281|Задача 281]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 285|Задача 285]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 307|Задача 307]]

== Системы линейных уравнений, матрицы, квадратичные формы ==

== Алгебра полиномов ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 617|Задача 617]]

[[Категория:Алгебра и геометрия]]</text>
    <sha1>4c4a18a098ad5ef89e3d9b699057af36fd59cc5f</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Задачи по высшей алгебре</title>
  <ns>0</ns>
  <id>28</id>
  <revision>
    <id>109</id>
    <parentid>108</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:18:32Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* Комплексные числа */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1043" xml:space="preserve">Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. Серия "Учебники для вузов. Специальная литература". {{---}} СПб.: Издательство "Лань", 1999. {{---}} 288 с.

== Комплексные числа ==
* [[Фаддеев Соминский: Задача 121|Задача 121]]
* [[Фаддеев Соминский: Задача 182|Задача 182]]

== Действия над матрицами и определители ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 281|Задача 281]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 285|Задача 285]]
* [[Фаддеев Соминский Задача 307|Задача 307]]

== Системы линейных уравнений, матрицы, квадратичные формы ==

== Алгебра полиномов ==
* [[Фаддеев Соминский Задача 617|Задача 617]]

[[Категория:Алгебра и геометрия]]</text>
    <sha1>d148fa20851e28df0436b61259977176eaf81066</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Фаддеев Соминский: Задача 121</title>
  <ns>0</ns>
  <id>29</id>
  <revision>
    <id>110</id>
    <timestamp>2021-11-06T17:29:02Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Представить в тригонометрической форме число &lt;math&gt;1 + \cos \phi + i \sin \phi&lt;/math&gt;, считая &lt;math&gt;-\pi \lt \phi \l...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="903" xml:space="preserve">Представить в тригонометрической форме число &lt;math&gt;1 + \cos \phi + i \sin \phi&lt;/math&gt;, считая &lt;math&gt;-\pi \lt \phi \leq \pi&lt;/math&gt;.

== Решение ==
Воспользуемся формулами двойного угла &lt;math&gt;\cos 2\varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi = 2 \cos^2 \varphi - 1 &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi&lt;/math&gt; и получим запись в тригонометрической форме:

&lt;math&gt;1 + \cos \varphi + i \sin \varphi&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= 2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}  + i \cdot 2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= 2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\varphi}{2}  + i \sin \frac{\varphi}{2} \right)&lt;/math&gt;.

Так как &lt;math&gt;-\pi \lt \phi \leq \pi&lt;/math&gt;, то модуль комплексного числа &lt;math&gt;2 \cos \frac{\varphi}{2} \gt 0&lt;/math&gt;.</text>
    <sha1>1c7e96304c48aea776879fbaab736dbb8c7a8a71</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>111</id>
    <parentid>110</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:33:48Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* Решение */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="974" xml:space="preserve">Представить в тригонометрической форме число &lt;math&gt;1 + \cos \phi + i \sin \phi&lt;/math&gt;, считая &lt;math&gt;-\pi \lt \phi \leq \pi&lt;/math&gt;.

== Решение ==
Воспользуемся формулами двойного угла &lt;math&gt;\cos 2\varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi = 2 \cos^2 \varphi - 1 &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi&lt;/math&gt; и получим запись в тригонометрической форме:

&lt;math&gt;1 + \cos \varphi + i \sin \varphi&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= 2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}  + i \cdot 2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= 2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\varphi}{2}  + i \sin \frac{\varphi}{2} \right)&lt;/math&gt;.

Так как &lt;math&gt;-\pi \lt \phi \leq \pi&lt;/math&gt;, то модуль комплексного числа &lt;math&gt;2 \cos \frac{\varphi}{2} \gt 0&lt;/math&gt;.

[[Категория: Задачи по высшей алгебре]]</text>
    <sha1>4553c291db28bf43c588c8074afe5d8f12857218</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Категория:Задачи по высшей алгебре</title>
  <ns>14</ns>
  <id>30</id>
  <revision>
    <id>112</id>
    <timestamp>2021-11-06T17:34:04Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>113</id>
    <parentid>112</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:34:38Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="60" xml:space="preserve">[[Категория: Алгебра и геометрия]]</text>
    <sha1>cce6f054d1f54c41efbd249e3bd9230692daffb8</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Математический анализ</title>
  <ns>0</ns>
  <id>25</id>
  <revision>
    <id>114</id>
    <parentid>98</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:40:28Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* Интегралы, зависящие от параметра */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="10669" xml:space="preserve">== Очерк теории чисел ==
* [[Элементы теории множеств]]
* [[Символика математической логики]]
* [[Натуральные и рациональные числа]]
* [[Аксиомы Пеано]]
* [[Операции с натуральными и рациональными числами]]
* [[Аксиомы поля рациональных чисел]]
* [[Сечение множества рациональных чисел]]
* [[Вещественные числа]]
* [[Операции с вещественными числами]]
* [[Ограниченные числовые множества]]
* [[Точные верхняя и нижняя грани множества]]
* [[Принцип Коши-Кантора (о вложенных промежутках)]]
* [[Лемма Бореля–Лебега о покрытиях множества]]
* [[Счетные множества и множества мощности континуума]]
* [[Комплексные числа, операции с комплексными числами]]

== Числовые последовательности ==
* [[Понятие последовательности чисел]]
* [[Монотонные последовательности]]
* [[Ограниченные последовательности]]
* [[Предел последовательности]]
* [[Теорема о единственности предела]]
* [[Теорема об ограниченности сходящейся последовательности]]
* [[Арифметические свойства пределов последовательностей]]
* [[Связь предела последовательности чисел и предела последовательности модулей этих чисел]]
* [[Предел последовательности неотрицательных чисел]]
* [[Связь предела последовательности с пределами мажорантной и минорантной последовательностями]]
* [[Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности]]
* [[Число е]]
* [[Подпоследовательности]]
* [[Теорема Больцано–Вейерштрасса]]
* [[Теорема об ограниченной расходящейся последовательности]]
* [[Принцип сходимости Коши–Больцано]]
* [[Частичные пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы последовательности]]
* [[Сходимость к бесконечности]]
* [[Теорема о монотонной неограниченной последовательности]]
* [[Свойства последовательностей с бесконечным пределом]]
* [[Типы неопределенностей при вычислении пределов последовательностей]]
* [[Теорема Штольца]]
* [[Предел последовательностей комплексных чисел]]
* [[Связь с вещественными последовательностями]]

== Функции вещественного аргумента ==
* [[Понятие функции]]
* [[Предельная точка числового множества]]
* [[Предел функции по Гейне]]
* [[Односторонние пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы]]
* [[Арифметические свойства предела]]
* [[Теорема о пределе сложной функции]]
* [[Теорема о пределе монотонной функции]]
* [[Теорема о функции, не имеющей предела]]
* [[Предел функции по Коши]]
* [[Теорема об эквивалентности двух определений предела функции]]
* [[Критерий сходимости Коши]]
* [[Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин]]
* [[Эквивалентные функции]]
* [[Замечательные пределы]]
* [[Непрерывность функций]]
* [[Равномерная непрерывность]]
* [[Теорема Кантора]]
* [[Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях]] 
* [[Теоремы Больцано–Коши о нуле функции и о промежуточных значениях]]
* [[Теорема о непрерывности обратной функции]]
* [[Теорема о строгой монотонности взаимнооднозначной непрерывной функции]]
* [[Классификация разрывов функции]]

== Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента ==
* [[Производная функции]]
* [[Теорема о непрерывности дифференцируемой функции]]
* [[Геометрический и физический смысл производной]]
* [[Уравнение касательной и нормали]]
* [[Таблица элементарных производных]]
* [[Арифметические свойства дифференцируемых функций]]
* [[Производная сложной функции]]
* [[Производная обратной функции]]
* [[Локальные и глобальные экстремумы функций]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Ролля]]
* [[Теорема Лагранжа]]
* [[Теорема Коши]] 
* [[Исследование поведения функции]]
* [[Теорема о монотонной функции]]
* [[Необходимые и достаточные условия экстремумов]]
* [[Производные старшего порядка]]
* [[Формула Лейбница]]
* [[Формула Тейлора]]
* [[Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей]]
* [[Выпуклость и вогнутость функций]]
* [[Теоремы о касательных]]
* [[Точки перегиба функций]]
* [[Исследование функций и построение графиков]]
* [[Дифференциалы функции]]
* [[Инвариантность формы первого дифференциала]]
* [[Производная функции, заданной неявно или параметрически]]
* [[Методы приближенного поиска корней алгебраических уравнений]]
* [[Интерполяция и регрессия]]

== Функциональные ряды ==
*[[Степенные ряды]]
*[[Комплексные ряды]]
*[[Аппроксимация непрерывных функций степенными полиномами]]
*[[Ряды Фурье]]
*[[Сходимость классического ряда Фурье]]
*[[Сходимость в среднем рядов Фурье]]
*[[Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье]]
*[[Аппроксимация непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами]]
*[[Обобщенное суммирование рядов]]
*[[Бесконечные произведения]]

== Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса ==
*[[Функции ограниченной вариации]]
*[[Интеграл Стилтьеса]]

== Функции нескольких переменных ==
*[[Метрические пространства]]
*[[Пространство Rn]]
*[[Последовательности в пространстве Rn]]
*[[Функции нескольких переменных. Предел функции]]
*[[Непрерывные функции]]
*[[Дифференцируемость функций]]
*[[Производные сложной функций]]
*[[Производные по направлению]]
*[[Производные и дифференциалы старшего порядка]]
*[[Экстремумы функции нескольких переменных]]
*[[Численные методы поиска экстремума]]
*[[Теорема о неявной функции]]
*[[Системы функций]]
*[[Теорема о системе неявных функций]]
*[[Условный экстремум]]
*[[Касательные и нормали в трехмерном пространстве]]

== Интегральное исчисление функций нескольких переменных ==
*[[Двойной интеграл]]
*[[Правила вычисления двойного интеграла]]
*[[Криволинейные интегралы 1-ого рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру]]
*[[Замена переменных в двойном интеграле]]
*[[Площадь криволинейной поверхности]]
*[[Поверхностные интегралы первого рода]]
*[[Поверхностные интегралы второго рода]]
*[[Формула Стокса]]
*[[Тройной интеграл]]
*[[Формула Остроградского-Гаусса]]
*[[Элементы теории поля]]

== Интегралы, зависящие от параметра ==
*[[Равномерная сходимость функций]]
*[[Собственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Несобственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Интегралы Лапласа]]
*[[Эйлеровы интегралы]]
*[[Интеграл Фурье]]

== Практика ==
*[[Задачи по математическому анализу]]</text>
    <sha1>32da9974c8aae1a37e8ae033a82aaa30437bfe9e</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>125</id>
    <parentid>114</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:11:25Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>Защитил страницу [[Математический анализ]] ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно) [Переименование=Разрешено только администраторам] (бессрочно))</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="10669" xml:space="preserve">== Очерк теории чисел ==
* [[Элементы теории множеств]]
* [[Символика математической логики]]
* [[Натуральные и рациональные числа]]
* [[Аксиомы Пеано]]
* [[Операции с натуральными и рациональными числами]]
* [[Аксиомы поля рациональных чисел]]
* [[Сечение множества рациональных чисел]]
* [[Вещественные числа]]
* [[Операции с вещественными числами]]
* [[Ограниченные числовые множества]]
* [[Точные верхняя и нижняя грани множества]]
* [[Принцип Коши-Кантора (о вложенных промежутках)]]
* [[Лемма Бореля–Лебега о покрытиях множества]]
* [[Счетные множества и множества мощности континуума]]
* [[Комплексные числа, операции с комплексными числами]]

== Числовые последовательности ==
* [[Понятие последовательности чисел]]
* [[Монотонные последовательности]]
* [[Ограниченные последовательности]]
* [[Предел последовательности]]
* [[Теорема о единственности предела]]
* [[Теорема об ограниченности сходящейся последовательности]]
* [[Арифметические свойства пределов последовательностей]]
* [[Связь предела последовательности чисел и предела последовательности модулей этих чисел]]
* [[Предел последовательности неотрицательных чисел]]
* [[Связь предела последовательности с пределами мажорантной и минорантной последовательностями]]
* [[Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности]]
* [[Число е]]
* [[Подпоследовательности]]
* [[Теорема Больцано–Вейерштрасса]]
* [[Теорема об ограниченной расходящейся последовательности]]
* [[Принцип сходимости Коши–Больцано]]
* [[Частичные пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы последовательности]]
* [[Сходимость к бесконечности]]
* [[Теорема о монотонной неограниченной последовательности]]
* [[Свойства последовательностей с бесконечным пределом]]
* [[Типы неопределенностей при вычислении пределов последовательностей]]
* [[Теорема Штольца]]
* [[Предел последовательностей комплексных чисел]]
* [[Связь с вещественными последовательностями]]

== Функции вещественного аргумента ==
* [[Понятие функции]]
* [[Предельная точка числового множества]]
* [[Предел функции по Гейне]]
* [[Односторонние пределы]]
* [[Верхний и нижний пределы]]
* [[Арифметические свойства предела]]
* [[Теорема о пределе сложной функции]]
* [[Теорема о пределе монотонной функции]]
* [[Теорема о функции, не имеющей предела]]
* [[Предел функции по Коши]]
* [[Теорема об эквивалентности двух определений предела функции]]
* [[Критерий сходимости Коши]]
* [[Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин]]
* [[Эквивалентные функции]]
* [[Замечательные пределы]]
* [[Непрерывность функций]]
* [[Равномерная непрерывность]]
* [[Теорема Кантора]]
* [[Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях]] 
* [[Теоремы Больцано–Коши о нуле функции и о промежуточных значениях]]
* [[Теорема о непрерывности обратной функции]]
* [[Теорема о строгой монотонности взаимнооднозначной непрерывной функции]]
* [[Классификация разрывов функции]]

== Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента ==
* [[Производная функции]]
* [[Теорема о непрерывности дифференцируемой функции]]
* [[Геометрический и физический смысл производной]]
* [[Уравнение касательной и нормали]]
* [[Таблица элементарных производных]]
* [[Арифметические свойства дифференцируемых функций]]
* [[Производная сложной функции]]
* [[Производная обратной функции]]
* [[Локальные и глобальные экстремумы функций]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Ролля]]
* [[Теорема Лагранжа]]
* [[Теорема Коши]] 
* [[Исследование поведения функции]]
* [[Теорема о монотонной функции]]
* [[Необходимые и достаточные условия экстремумов]]
* [[Производные старшего порядка]]
* [[Формула Лейбница]]
* [[Формула Тейлора]]
* [[Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей]]
* [[Выпуклость и вогнутость функций]]
* [[Теоремы о касательных]]
* [[Точки перегиба функций]]
* [[Исследование функций и построение графиков]]
* [[Дифференциалы функции]]
* [[Инвариантность формы первого дифференциала]]
* [[Производная функции, заданной неявно или параметрически]]
* [[Методы приближенного поиска корней алгебраических уравнений]]
* [[Интерполяция и регрессия]]

== Функциональные ряды ==
*[[Степенные ряды]]
*[[Комплексные ряды]]
*[[Аппроксимация непрерывных функций степенными полиномами]]
*[[Ряды Фурье]]
*[[Сходимость классического ряда Фурье]]
*[[Сходимость в среднем рядов Фурье]]
*[[Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье]]
*[[Аппроксимация непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами]]
*[[Обобщенное суммирование рядов]]
*[[Бесконечные произведения]]

== Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса ==
*[[Функции ограниченной вариации]]
*[[Интеграл Стилтьеса]]

== Функции нескольких переменных ==
*[[Метрические пространства]]
*[[Пространство Rn]]
*[[Последовательности в пространстве Rn]]
*[[Функции нескольких переменных. Предел функции]]
*[[Непрерывные функции]]
*[[Дифференцируемость функций]]
*[[Производные сложной функций]]
*[[Производные по направлению]]
*[[Производные и дифференциалы старшего порядка]]
*[[Экстремумы функции нескольких переменных]]
*[[Численные методы поиска экстремума]]
*[[Теорема о неявной функции]]
*[[Системы функций]]
*[[Теорема о системе неявных функций]]
*[[Условный экстремум]]
*[[Касательные и нормали в трехмерном пространстве]]

== Интегральное исчисление функций нескольких переменных ==
*[[Двойной интеграл]]
*[[Правила вычисления двойного интеграла]]
*[[Криволинейные интегралы 1-ого рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода]]
*[[Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру]]
*[[Замена переменных в двойном интеграле]]
*[[Площадь криволинейной поверхности]]
*[[Поверхностные интегралы первого рода]]
*[[Поверхностные интегралы второго рода]]
*[[Формула Стокса]]
*[[Тройной интеграл]]
*[[Формула Остроградского-Гаусса]]
*[[Элементы теории поля]]

== Интегралы, зависящие от параметра ==
*[[Равномерная сходимость функций]]
*[[Собственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Несобственные интегралы, зависящие от параметра]]
*[[Интегралы Лапласа]]
*[[Эйлеровы интегралы]]
*[[Интеграл Фурье]]

== Практика ==
*[[Задачи по математическому анализу]]</text>
    <sha1>32da9974c8aae1a37e8ae033a82aaa30437bfe9e</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Задачи по математическому анализу</title>
  <ns>0</ns>
  <id>31</id>
  <revision>
    <id>115</id>
    <timestamp>2021-11-06T17:51:13Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.  == Отдел I. Введение...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1440" xml:space="preserve">Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

== Отдел I. Введение в анализ ==
# Вещественные числа
#* [[Демидович: Задача 1|Задача 1]]
#* [[Демидович: Задача 2|Задача 2]]
#* [[Демидович: Задача 3|Задача 3]]
# Теория последовательностей
#* [[Демидович: Задача 46|Задача 46]]
#* [[Демидович: Задача 48|Задача 48]]
# Понятие функции
# Графическое изображение функции
# Предел функции
# O-символика
# Непрерывность функции
# Обратная функция. Функции, заданные параметрически
# Равномерная непрерывность функции
# Функциональные уравнения

== Отдел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ==
# Производная явной функции
# Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде
...

[[Категория: Математический анализ]]</text>
    <sha1>6b0768085e97e7003f32bd3e3f2ed64a661ff8c6</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>118</id>
    <parentid>115</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:55:18Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* Отдел I. Введение в анализ */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1499" xml:space="preserve">Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

== Отдел I. Введение в анализ ==
# Вещественные числа
#* [[Демидович: Задача 1|Задача 1]]
#* [[Демидович: Задача 2|Задача 2]]
#* [[Демидович: Задача 3|Задача 3]]
# Теория последовательностей
#* [[Демидович: Задача 46|Задача 46]]
#* [[Демидович: Задача 48|Задача 48]]
#* [[Демидович: Задача 56|Задача 56]]
# Понятие функции
# Графическое изображение функции
# Предел функции
# O-символика
# Непрерывность функции
# Обратная функция. Функции, заданные параметрически
# Равномерная непрерывность функции
# Функциональные уравнения

== Отдел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ==
# Производная явной функции
# Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде
...

[[Категория: Математический анализ]]</text>
    <sha1>ea6f50cbe681713993104ff537faff1a22a5f753</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Категория:Математический анализ</title>
  <ns>14</ns>
  <id>32</id>
  <revision>
    <id>116</id>
    <timestamp>2021-11-06T17:51:25Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Заглавная страница</title>
  <ns>0</ns>
  <id>1</id>
  <revision>
    <id>117</id>
    <parentid>105</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T17:52:24Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment deleted="deleted"/>
    <model>wikitext</model>
    <text bytes="6107" deleted="deleted"/>
    <sha1/>
  </revision>
  <revision>
    <id>123</id>
    <parentid>117</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:10:54Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>Защитил страницу [[Заглавная страница]] ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно) [Переименование=Разрешено только администраторам] (бессрочно))</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="6107" xml:space="preserve">Добро пожаловать на сайт вики-констпектов дисциплин, которые читаются на факультете ПМ-ПУ СПбГУ.

[[Справка:Инструкции| Инструкция для студентов]].
== Математические дисциплины ==
* [[Алгебра и геометрия]]
** [[Алгебра и геометрия#Полиномы и их корни| Полиномы и их корни]]
** [[Алгебра и геометрия#Матрицы и определители| Матрицы и определители]]
** [[Алгебра и геометрия#Линейные пространства| Линейные пространства]]
** [[Алгебра и геометрия#Системы линейных уравнений| Системы линейных уравнений]]
** [[Алгебра и геометрия#Квадратичные формы| Квадратичные формы]]
** [[Алгебра и геометрия#Преобразование координат| Преобразование координат]]
** [[Алгебра и геометрия#Линии и поверхности второго порядка| Линии и поверхности второго порядка]]
** [[Алгебра и геометрия#Элементы общей теории кривых и поверхностей| Элементы общей теории кривых и поверхностей]]
** [[Алгебра и геометрия#Геометрическая структура систем линейных уравнений| Геометрическая структура систем линейных уравнений]]
** [[Алгебра и геометрия#Геометрическая структура систем линейных неравенств| Геометрическая структура систем линейных неравенств]]
** [[Алгебра и геометрия#Практика| Практика]]

* [[Математический анализ]]
** [[Математический анализ#Очерк теории чисел| Очерк теории чисел]]
** [[Математический анализ#Числовые последовательности| Числовые последовательности]]
** [[Математический анализ#Функции вещественного аргумента| Функции вещественного аргумента]]
** [[Математический анализ#Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента| Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента]]
** [[Математический анализ#Функциональные ряды| Функциональные ряды]]
** [[Математический анализ#Функции ограниченной вариации| Функции ограниченной вариации]]
** [[Математический анализ#Функции нескольких переменных| Функции нескольких переменных]]
** [[Математический анализ#Интегральное исчисление функций нескольких переменных| Интегральное исчисление функций нескольких переменных]]
** [[Математический анализ#Интегралы, зависящие от параметра| Интегралы, зависящие от параметра]]
** [[Математический анализ#Практика| Практика]]

* [[Кратные интегралы и ряды]]
* [[Основы функционального анализа]]
* [[Дифференциальные и разностные уравнения]]
* [[Теория вероятности и математическая статистика]]
* [[Теория функций комплексной переменной]]
* [[Физика]]
* [[Методы оптимизации и исследование операций]]

== Теоретическая информатика ==
* [[Дискретная математика]]
** [[Дискретная математика#Основы теории множеств| Основы теории множеств]]
** [[Дискретная математика#Комбинаторика| Комбинаторика]]
** [[Дискретная математика#Булевы функции| Булевы функции]]
** [[Дискретная математика#Исчисление высказываний| Исчисление высказываний]]
** [[Дискретная математика#Исчисление предикатов| Исчисление предикатов]]
** [[Дискретная математика#Алгоритмы| Алгоритмы]]
** [[Дискретная математика#Графы| Графы]]
* [[Теория автоматов и формальных языков]]
* [[Математическая логика и теория алгоритмов]]
* [[Теория конечных графов и ее приложения]]
* [[Алгоритмы и структуры данных]]
* [[Алгоритмы и анализ сложности]]

== Прикладная информатика и информационные технологии == 
* [[Архитектура вычислительных систем]]
* [[Операционные системы]]
* [[Компьютерные сети]]
* [[Компьютерная графика]]
* [[Введение в системы баз данных]]

== Программирование ==
* [[Основы программирования]]
* [[Языки программирования]]</text>
    <sha1>e7d762629d13399b163dc982075d27608193dfd8</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Демидович: Задача 56</title>
  <ns>0</ns>
  <id>33</id>
  <revision>
    <id>119</id>
    <timestamp>2021-11-06T18:03:37Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Предполагая, что &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражени...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="891" xml:space="preserve">Предполагая, что &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения
&lt;math&gt;\lim_{n \to \infty}{\left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} \right)}&lt;/math&gt;.

== Решение ==
Заметим, что &lt;math&gt;\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \ldots + + \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= 1 - \frac{1}{n+1}&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;\lim_{n \to \infty}{\left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} \right)}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=\lim_{n \to \infty}{\left(1 - \frac{1}{n+1} \right)} = 1&lt;/math&gt;.

[[Категория: Задачи по математическому анализу]]</text>
    <sha1>7cff5c8101d7b727bcfce78b97ea659f9d9284a5</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Категория:Задачи по математическому анализу</title>
  <ns>14</ns>
  <id>34</id>
  <revision>
    <id>120</id>
    <timestamp>2021-11-06T18:03:46Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>121</id>
    <parentid>120</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:04:16Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="65" xml:space="preserve">[[Категория: Математический анализ]]</text>
    <sha1>7052a97669d0dd57fb1e2d06e045124c095123e4</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Справка:Инструкции</title>
  <ns>12</ns>
  <id>27</id>
  <revision>
    <id>122</id>
    <parentid>103</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:05:41Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>/* TeX */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="7004" xml:space="preserve">Инструкции и требования к написанию вики-конспектов

# Для внесения конспектов нужно зарегистрироваться на сайте и написать в информации о себе имя, фамилию и группу.
# На данный момент регистрация осуществляется через преподавателей:[mailto:s.pogozhev@spbu.ru Погожев Сергей Владимирович].
# Внимательно читайте свои конспекты перед тем, как совершать попытку их сдачи. Рекомендуется читать конспекты друг друга перед отправкой на проверку, так как это позволит значительно уменьшить количество итераций сдачи конспекта.
# Не забывайте сообщать преподавателям/редакторам/кураторам о том, что конспект нужно проверить. При общении с редактором давайте ссылку на конспект, который вы пишете. При использовании электронной почты в теме письма указывайте, пожалуйста, “Вики-конспекты: ''Название вики-конспекта''”. 
# Редактировать можно не только свои конспекты.

== Викификация ==
# В конспекте не должно быть орфографических, пунктуационных, речевых, фактических, логических и других ошибок.
# Используйте вики-шаблоны [[Шаблон: Определение]], [[Шаблон: Теорема]], [[Шаблон: Лемма]], [[Шаблон: Утверждение]], [[Шаблон: Следствие]], [[Шаблон: Замечание]], [[Шаблон: Пример]] ([[Справка:Шаблоны|Справка по шаблонам]]).
# Вместо черточки “-” используйте тире “{{---}}”. Для этого можно использовать [[Шаблон:---]]. Про правила использования читать [http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/sections/97/ здесь]
# Приводите английские названия терминов, теорем, имен алгоритмов и т.д. Их лучше писать в скобках курсивом после их русских названий.
# Не используйте без нужды тег &lt;nowiki&gt; &lt;br&gt; &lt;/nowiki&gt;. Для перевода строки в вики надо вставлять пустую строку.
# Ставьте категорию, например, &lt;nowiki&gt;[[Категория: Дискретная математика]]&lt;/nowiki&gt;.
# Оформляйте ссылки на источники [http://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:Ссылки_на_источники правильно]. 

== Картинки ==
# Предпочтительный формат картинок {{---}} векторный. Для этого можно пользоваться Microsoft Visio, Inkscape, Graphviz, Metapost и т.п.

== Источники информации==
# Используйте ссылки на другие конспекты.
# В конспекте должны быть указаны источники или литература. Причем указывать ссылки не просто на википедию, а на конкретную статью (как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись], на английскую {{---}} как [http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_notation Wikipedia {{---}} Scientific notation]). Для книг достаточно указать автора, название, издание и номер страницы.
# Нарушения авторского права недопустимы.

== TeX ==
# Формулы обязательно помещаются в тег &lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/nowiki&gt;.
# [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B Википедия:Формулы]
# [https://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/ru Help:Отображение формул]
# [https://ru.overleaf.com/learn/latex/Questions/Are_there_any_tools_to_help_transcribe_mathematical_formulae_into_LaTeX%3F Are there any tools to help transcribe mathematical formulae into LaTeX?]
# В качестве знака умножения нужно использовать &lt;code&gt;\times&lt;/code&gt; или &lt;code&gt;\cdot&lt;/code&gt;, а не звездочку. Не следует писать &lt;math&gt;2 * 2 = 4 &lt;/math&gt;, нужно &lt;math&gt;2 \times 2 = 4&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;2 \cdot 2 = 4&lt;/math&gt;.
# Не опускайте знаки умножения, конъюнкции, скобки и т.п., если это может привести к неоднозначности.

== Псевдокод ==
# Используйте максимально компактный и читаемый псевдокод.
# Не ставьте фигурные скобки. Используйте отступы для группировки.
# Не ставьте круглые скобки вокруг внешнего условия if'а, while'а и т.п.
# Обозначайте присвоение с помощью знака «=», а сравнение как «==».
# TeX в псевдокоде можно использовать только в случае какого-то нестандартного оператора(а перед этим хорошо подумать и посмотреть предыдущий пункт).
# Оформляйте псевдокод как функцию, принимающую входные данные и возвращающую результат.
# Ставьте пробелы между операндами и бинарными операторами(«1 + 2», а не «1+2»). После унарных операторов перед операндом пробел ставить не нужно.
# Ставьте пробел после запятой, разделяющей аргументы функции.
# Используем какой-то определённый стиль именования переменных(например, lowerCamelCase для переменных и функций, а UpperCamelCase для классов).

[[Категория:Справка]]</text>
    <sha1>8211704aaccd83241247b2d066a658f4beab2af1</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>127</id>
    <parentid>122</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:11:47Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>Защитил страницу [[Справка:Инструкции]] ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно) [Переименование=Разрешено только администраторам] (бессрочно))</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="7004" xml:space="preserve">Инструкции и требования к написанию вики-конспектов

# Для внесения конспектов нужно зарегистрироваться на сайте и написать в информации о себе имя, фамилию и группу.
# На данный момент регистрация осуществляется через преподавателей:[mailto:s.pogozhev@spbu.ru Погожев Сергей Владимирович].
# Внимательно читайте свои конспекты перед тем, как совершать попытку их сдачи. Рекомендуется читать конспекты друг друга перед отправкой на проверку, так как это позволит значительно уменьшить количество итераций сдачи конспекта.
# Не забывайте сообщать преподавателям/редакторам/кураторам о том, что конспект нужно проверить. При общении с редактором давайте ссылку на конспект, который вы пишете. При использовании электронной почты в теме письма указывайте, пожалуйста, “Вики-конспекты: ''Название вики-конспекта''”. 
# Редактировать можно не только свои конспекты.

== Викификация ==
# В конспекте не должно быть орфографических, пунктуационных, речевых, фактических, логических и других ошибок.
# Используйте вики-шаблоны [[Шаблон: Определение]], [[Шаблон: Теорема]], [[Шаблон: Лемма]], [[Шаблон: Утверждение]], [[Шаблон: Следствие]], [[Шаблон: Замечание]], [[Шаблон: Пример]] ([[Справка:Шаблоны|Справка по шаблонам]]).
# Вместо черточки “-” используйте тире “{{---}}”. Для этого можно использовать [[Шаблон:---]]. Про правила использования читать [http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/sections/97/ здесь]
# Приводите английские названия терминов, теорем, имен алгоритмов и т.д. Их лучше писать в скобках курсивом после их русских названий.
# Не используйте без нужды тег &lt;nowiki&gt; &lt;br&gt; &lt;/nowiki&gt;. Для перевода строки в вики надо вставлять пустую строку.
# Ставьте категорию, например, &lt;nowiki&gt;[[Категория: Дискретная математика]]&lt;/nowiki&gt;.
# Оформляйте ссылки на источники [http://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:Ссылки_на_источники правильно]. 

== Картинки ==
# Предпочтительный формат картинок {{---}} векторный. Для этого можно пользоваться Microsoft Visio, Inkscape, Graphviz, Metapost и т.п.

== Источники информации==
# Используйте ссылки на другие конспекты.
# В конспекте должны быть указаны источники или литература. Причем указывать ссылки не просто на википедию, а на конкретную статью (как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись], на английскую {{---}} как [http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_notation Wikipedia {{---}} Scientific notation]). Для книг достаточно указать автора, название, издание и номер страницы.
# Нарушения авторского права недопустимы.

== TeX ==
# Формулы обязательно помещаются в тег &lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/nowiki&gt;.
# [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B Википедия:Формулы]
# [https://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/ru Help:Отображение формул]
# [https://ru.overleaf.com/learn/latex/Questions/Are_there_any_tools_to_help_transcribe_mathematical_formulae_into_LaTeX%3F Are there any tools to help transcribe mathematical formulae into LaTeX?]
# В качестве знака умножения нужно использовать &lt;code&gt;\times&lt;/code&gt; или &lt;code&gt;\cdot&lt;/code&gt;, а не звездочку. Не следует писать &lt;math&gt;2 * 2 = 4 &lt;/math&gt;, нужно &lt;math&gt;2 \times 2 = 4&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;2 \cdot 2 = 4&lt;/math&gt;.
# Не опускайте знаки умножения, конъюнкции, скобки и т.п., если это может привести к неоднозначности.

== Псевдокод ==
# Используйте максимально компактный и читаемый псевдокод.
# Не ставьте фигурные скобки. Используйте отступы для группировки.
# Не ставьте круглые скобки вокруг внешнего условия if'а, while'а и т.п.
# Обозначайте присвоение с помощью знака «=», а сравнение как «==».
# TeX в псевдокоде можно использовать только в случае какого-то нестандартного оператора(а перед этим хорошо подумать и посмотреть предыдущий пункт).
# Оформляйте псевдокод как функцию, принимающую входные данные и возвращающую результат.
# Ставьте пробелы между операндами и бинарными операторами(«1 + 2», а не «1+2»). После унарных операторов перед операндом пробел ставить не нужно.
# Ставьте пробел после запятой, разделяющей аргументы функции.
# Используем какой-то определённый стиль именования переменных(например, lowerCamelCase для переменных и функций, а UpperCamelCase для классов).

[[Категория:Справка]]</text>
    <sha1>8211704aaccd83241247b2d066a658f4beab2af1</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Алгебра и геометрия</title>
  <ns>0</ns>
  <id>2</id>
  <revision>
    <id>124</id>
    <parentid>106</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:11:15Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>Защитил страницу [[Алгебра и геометрия]] ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно))</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8859" xml:space="preserve">
== Полиномы и их корни ==
* [[Комплексные числа]]
* [[Теорема Безу]]
* [[Схема Горнера]]
* [[Разложение полинома на множители]]
* [[Наибольший общий делитель полиномов]]
* [[Полиномы с вещественными коэффициентами]]
* [[Рациональные дроби]]

== Матрицы и определители ==
* [[Матрицы и операции с ними]]
* [[Определители второго и третьего порядка]]
* [[Перестановки]]
* [[Определители порядка n]]
* [[Алгебраические дополнения и миноры]]
* [[Определитель ступенчатой матрицы]]
* [[Блочные матрицы]]
* [[Определитель произведения двух матриц]]
* [[Обратная матрица]]
* [[Ортогональные матрицы]]
* [[Характеристический полином матрицы]]

== Линейные пространства ==
*[[Линейные операции над векторами]]
* [[Линеал]]
* [[Линейная зависимость и независимость векторов]]
* [[Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве]]
* [[Базис и размерность линеала]]
* [[Ранг матрицы]]
* [[Изоморфизм линеалов]]
* [[Аффинные пространства]]
* [[Аффинные системы координатa]]
* [[Геометрический смысл аффинных координат]]
* [[Декартовые прямоугольные системы координат]]
* [[Полярная система координат]]
* [[Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Сферические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Деление вектора в заданном отношении]]
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Евклидовы, нормированные и метрические пространства]]
* [[Векторное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение трех векторов]]
* [[Двойное векторное произведение]]
== Системы линейных уравнений ==
* [[Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений]]
* [[Системы линейных уравнений с квадратной матрицей]]
* [[Структура общего решения однородной системы линейных уравнений]]
* [[Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений]]
* [[Метод Гаусса]]
* [[Геометрический смысл систем линейных уравнений]]
* [[Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости]]
* [[Геометрический смысл систем линейных неравенств]]
* [[Нормированное уравнение плоскости (прямой)]]
* [[Пучки плоскостей (прямых на плоскости)]]
* [[Взаимное расположение прямых и плоскостей]]

== Квадратичные формы ==
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду]]
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования]]
* [[Положительно определенные квадратичные формы]]
* [[Закон инерции]]
* [[Собственные значения и собственные векторы матрицы]]
* [[Подобные матрицы]]
* [[Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду]]
* [[Унитарные матрицы]]
* [[Эрмитовы формы]]

== Преобразование координат ==
* [[Преобразование декартовых прямоугольных координат]]
* [[Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве]]
* [[Преобразование аффинных координат]]
* [[Линии и поверхности второго порядка]]
* [[Алгебраические линии и поверхности]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах]]
* [[Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду]]
* [[Классификация линий второго порядка]]
* [[Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат]]
* [[Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов]]
* [[Поверхности вращения]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Гиперболоиды]]
* [[Параболоиды]]
* [[Цилиндрические поверхности]]
* [[Конические поверхности]]

== Элементы общей теории кривых и поверхностей ==
* [[Векторная функция скалярного аргумента]]
* [[Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции]]
* [[Понятие кривой]]
* [[Касательная к кривой]]
* [[Нормальная плоскость кривой]]
* [[Соприкасающаяся плоскость кривой]]
* [[Спрямляющая плоскость кривой]]
* [[Нормаль]]
* [[Главная нормаль]]
* [[Бинормаль]]
* [[Длина дуги кривой]]
* [[Естественная параметризация]]
* [[Кривизна кривой]]
* [[Кручение кривой]]
* [[Формулы Френе]]
* [[Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника]]
* [[Натуральные уравнения кривой]]
* [[Понятие поверхности]]
* [[Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности]]
* [[Первая квадратичная форма]]
* [[Длина дуги кривой на поверхности]]
* [[Угол между кривыми на поверхности]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Вторая квадратичная форма поверхности]]
* [[Кривизна кривой, лежащей на поверхности]]

== Геометрическая структура систем линейных уравнений ==
* [[Линейные подпространства]]
* [[Сумма и пересечение линейных подпространств]]
* [[Многомерные плоскости]]
* [[Взаимное расположение многомерных плоскостей]]

== Геометрическая структура систем линейных неравенств ==
* [[Выпуклые множества]]
* [[Выпуклые конусы]]
* [[Отделимость выпуклых множеств]]
* [[Конечные конусы]]
* [[Выпуклое многогранное множество]]
* [[Грани многогранного множества]]
* [[Параметрическое уравнение многогранного множества]]
* [[Геометрия задачи линейного программирования]]

== Практика ==
* [[Задачи по высшей алгебре]]
* [[Задачи по аналитической геометрии]]</text>
    <sha1>7ad7881e5c5a194b7e680c2e3e0febf64908fb45</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Дискретная математика</title>
  <ns>0</ns>
  <id>14</id>
  <revision>
    <id>126</id>
    <parentid>59</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:11:33Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>Защитил страницу [[Дискретная математика]] ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно) [Переименование=Разрешено только администраторам] (бессрочно))</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2906" xml:space="preserve">== Основы теории множеств ==
* [[Множества]]
* [[Диаграммы Эйлера-Венна]]
* [[Прямое произведение множеств]]
* [[Парадокс Рассела]]
* [[Аксиомы ZFC]]
* [[Бинарные отношения]]
* [[Отношение эквивалентности]]
* [[Отношение порядка]]
* [[Лексикографический порядок]]

== Комбинаторика ==
* [[Размещения]]
* [[Сочетания]]
* [[Треугольник Паскаля]]
* [[Перебор сочетаний]]
* [[Бином Ньютона]]
* [[Мультимножества]]
* [[Мультиномиальная формула Ньютона]]
* [[Разбиения множеств]]
* [[Композиция натурального числа]]
* [[Разбиения натурального числа]]
* [[Перестановки]]
* [[Группа перестановок]]
* [[Циклы перестановки]]
* [[Тип перестановки]]
* [[Принцип включения-исключения]]
* [[Задача о беспорядках]]
* [[Мощность объединения множеств]]
* [[Число целочисленных решений системы неравенств]]

== Булевы функции ==
* [[Булевы функции]]
* [[Формулы]]
* [[Основные тождества]]
* [[Дизъюнктивная нормальная форма]]
* [[Конъюнктивная нормальная форма]]
* [[Разложение функции по переменным]]
* [[Полином Жегалкина]]
* [[Полнота системы функций]]
* [[Функции сохраняющие ноль|Функции, сохраняющие ноль]]
* [[Функции сохраняющие единицу|Функции, сохраняющие единицу]]
* [[Двойственные функции]]
* [[Самодвойственные функции]]
* [[Монотонные функции]]
* [[Линейные функции]]
* [[Критерий полноты системы функций]]

== Исчисление высказываний ==

== Исчисление предикатов ==

== Алгоритмы ==
* [[Понятие алгоритма]]
* [[Машина Тьюринга]]
* [[Стандартные конфигурации машины Тьюринга]]
* [[Вычислимые функции]]
* [[Алгоритмически неразрешимые задачи]]
* [[Сложность алгоритмов]]
* [[Полиномиальная сводимость]]
* [[Классы задач в форме распознавания свойств]]
* [[NP-полные задачи]]
* [[Задача коммивояжера]]

== Графы ==</text>
    <sha1>854b2b41da0df013bcb31cbd613d8672c44b1963</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Справка:Шаблоны</title>
  <ns>12</ns>
  <id>23</id>
  <revision>
    <id>128</id>
    <parentid>95</parentid>
    <timestamp>2021-11-06T18:12:12Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>Защитил страницу [[Справка:Шаблоны]] ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно) [Переименование=Разрешено только администраторам] (бессрочно))</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5449" xml:space="preserve">== Определение ==
Использование шаблона [[Шаблон:Определение|Определение]]:
&lt;pre&gt;
{{Определение
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. 
|definition=текст
}}
&lt;/pre&gt;
*Если указан id, то на определение можно ссылаться (по &amp;#91;&amp;#91;#def1|определению такому-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Определение
|definition = Пример определения...
}}

== Утверждение ==
Использование шаблона [[Шаблон:Утверждение|Утверждение]]:
&lt;pre&gt;
{{Утверждение
|id=идентификатор (необязательно), пример: Prop1. 
|author=Автор утверждения (необязательно)
|about=О чем утверждение(необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на утверждение можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Prop1|утверждению такому-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Утверждение
|statement=Пример утверждения. Формулировка...
|proof=Текст доказательства утверждения...
}}

== Лемма ==
Использование шаблона [[Шаблон:Лемма|Лемма]]:
&lt;pre&gt;
{{Лемма
|id=идентификатор (необязательно), пример: Lem1. 
|about=О чем лемма (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на лемму можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Lem1|лемме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Лемма
|statement=Пример формулировки леммы...
|proof=Текст доказательства леммы...
}}

== Теорема ==
Использование шаблона [[Шаблон:Теорема|Теорема]]:
&lt;pre&gt;
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: Th1. 
|author=Автор теоремы (необязательно)
|about=О чем теорема (необязательно)
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#Th1|теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Теорема
|about=Неравенство Коши-Буняковского
|statement=
Пусть дано линейное пространство &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; со скалярным произведением &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;. Пусть &lt;math&gt;\|x\|&lt;/math&gt; {{---}} норма, порождённая скалярным произведением, то есть &lt;math&gt;\|x\|\equiv\sqrt{( x, x)},\;\forall x\in L&lt;/math&gt;. Тогда для любых &lt;math&gt;x, y\in L&lt;/math&gt; имеем:
&lt;math&gt;|( x, y)| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,&lt;/math&gt;
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; линейно зависимы.
|proof=Текст доказательства теоремы...
}}

== Следствие ==
Использование шаблона [[Шаблон:Следствие|Следствие]]:
&lt;pre&gt;
{{Следствие
|id=идентификатор (необязательно), пример: col1. 
|statement=утверждение
|proof=доказательство (необязательно)
}}
&lt;/pre&gt;
* После этого на теорему можно ссылаться из статьи (по &amp;#91;&amp;#91;#col1|следствию к теореме такой-то&amp;#93;&amp;#93;)
* Все '''id''' должны быть уникальными внутри статьи и не совпадать с названиями секций.
{{Следствие
|statement=Пример формулировки...
|proof=Текст доказательства...
}}

== Замечание ==
Использование шаблона [[Шаблон:Замечание|Замечание]]:
&lt;pre&gt;
{{Замечание
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;
{{Замечание
|content=Текст замечание...
}}

== Пример ==
Использование шаблона [[Шаблон:Пример|Пример]]:
&lt;pre&gt;
{{Пример
|num=номер (не обязательно)
|content=текст
}}
&lt;/pre&gt;
{{Пример
|num=1
|content=Текст примера...
}}

[[Категория:Справка]]</text>
    <sha1>460d2de6e51ae73700bf0a54ddf91c39077e2e04</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Компьютерная графика</title>
  <ns>0</ns>
  <id>35</id>
  <revision>
    <id>129</id>
    <timestamp>2021-11-12T20:21:14Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «* [[Векторная и растровая графика]] * [[Цвет]] * [[Цветовые модели]] * Обработка изображений ** ...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3437" xml:space="preserve">* [[Векторная и растровая графика]]
* [[Цвет]]
* [[Цветовые модели]]
* Обработка изображений
** [[Геометрические преобразования изображений|геометрические преобразования]]
** [[Фильтрация изображений|фильтрация изображений]]
** [[Математическая морфология|математическая морфология]]
** [[Устранение шума на изображениях|устранение шума на изображениях]]
* [[Представление линии в квадратном растре]]
* [[Алгоритмы построения окружности]]
* [[Закраска областей]]
* [[Заливка области с затравкой]]
* [[Методы устранения ступенчатости]]
* [[Отсечение отрезков]]
** [[Алгоритм Коэна-Сазерленда|двумерный алгоритм Коэна-Сазерленда]]
** [[FC-алгоритм|FC-алгоритм (Fast Clipping)]]
** [[Алгоритм Линга-Барски|двумерный алгоритм Линга-Барски]]
** [[Алгоритм Кируса-Бека|двумерный алгоритм Кируса-Бека]]
* [[Отсечение плоских фигур]]
** [[Алгоритм Сазерленда-Ходгмана|алгоритм Сазерленда-Ходгмана]]
** [[Алгоритм Вейлера-Азертона|алгоритм Вейлера-Азертона]]
* [[Аффинные преобразования на плоскости и в пространстве]]
* [[Кватернионы. Ориентация. Вращение.]]
* [[Преобразования камеры]]
* [[Виды проекций]]
* [[Способы задания кривых]]
* [[Задание кривых в форме Эрмита|в форме Эрмита]]
* [[Задание кривых в форме Безье|в форме Безье]]
* [[В-сплайны]]
* Модели описания поверхностей
** [[векторно-полигональная модель]]
** [[воксельная модель]]
** [[равномерная сетка]]
** [[неравномерная сетка]]
* [[Фракталы]]
* [[Удаление скрытых линий и поверхностей]]
** [[Алгоритм Робертса|алгоритм Робертса]] 
** [[Алгоритм плавающего горизонта|алгоритм плавающего горизонта]]
** [[Метод z-буфера|метод z-буфера]]
** [[Алгоритм Варнака|алгоритм Варнака]]
* [[Метод трассировки лучей]]
* [[Моделирование освещения]]
** [[Закраска методом Гуро]]
** [[Закраска методом Фонга]]
* Алгоритмы сжатия информации без потерь
** [[RLE]]
** [[LZW]]
** [[Алгоритм Хаффмана|алгоритм Хаффмана]]
* Алгоритм сжатия изображений с потерями
** [[JPEG]]
** [[Вейвлет сжатие|вейвлет сжатие]]
** [[Фрактальное сжатие|фрактальное сжатие]]</text>
    <sha1>c77e2f001ac9f8255610133631f5693d51594819</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Положительно определенные квадратичные формы</title>
  <ns>0</ns>
  <id>36</id>
  <revision>
    <id>130</id>
    <timestamp>2021-11-23T07:49:56Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадр...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5628" xml:space="preserve">Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадратичная форма имеет канонический вид
&lt;math&gt;
f(\xi_1, \xi_2, ...,\xi_n ) = \lambda_1 \xi_1^2 + \cdots + \lambda_k \xi_k^2 - \lambda_{k + 1} \xi_{k + 1}^2 - \cdots - \lambda_n \xi_n^2, 
&lt;/math&gt;
где &lt;math&gt;\lambda_i \ge 0&lt;/math&gt; для любого &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;, то всегда можно 
сделать еще одно невырожденное преобразование по формулам &lt;math&gt;\eta_1 = \sqrt {\lambda_1 } \xi_1&lt;/math&gt;, ...,  &lt;math&gt;\eta_k = \sqrt {\lambda_k } \xi_k&lt;/math&gt;, ...,  &lt;math&gt;\eta_n = \sqrt {\lambda_n } \xi_n&lt;/math&gt;, в результате которого получаем 
&lt;math&gt;
g(\eta_1, \eta_2, ...,\eta_n ) = \eta_1^2 + \cdots + \eta_k^2 - \eta _{k + 1}^2 - \cdots - \eta_n^2 .
&lt;/math&gt;

Общим у этих квадратичных форм является количество &lt;math&gt;N^{+}&lt;/math&gt; положительных коэффициентов и количество &lt;math&gt;N^{-}&lt;/math&gt; отрицательных коэффициентов. 
Таким образом, общее число ненулевых коэффициентов составляет &lt;math&gt;N^{+} + N^{-}&lt;/math&gt;, а оно равно рангу квадратичной формы.

{{Теорема
|id=Th1 
|about=закон инерции
|statement=Число положительных и число отрицательных коэффициентов при квадратах переменных в каноническом виде данной квадратичной формы, к которому она приводится в результате невырожденного линейного преобразования, не зависит от выбора указанного преобразования.
|proof=Пусть квадратичная форма &lt;math&gt;f({\bf x})=f(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n )&lt;/math&gt; с помощью невырожденного 
преобразования &lt;math&gt;{\bf x} = {\bf By}&lt;/math&gt; приводится к каноническому виду
&lt;math&gt;
g({\bf y}) = g(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n ) = \alpha_1 \eta_1^2 + \cdots + \alpha_k \eta_k^2 - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^2 - \cdots - \alpha_n \eta_n^2
&lt;/math&gt;, 
где &lt;math&gt;\alpha_i \ge 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;, а в результате преобразования &lt;math&gt;{\bf x} = {\bf Cz}&lt;/math&gt; к виду
&lt;math&gt;
\varphi ({\bf z}) = \varphi (\zeta_1, \zeta_2, ..., \zeta_n ) = \beta_1 \zeta_1^2 + \cdots + \beta_r \eta_r^2 - \beta_{r + 1} \eta_{r + 1}^2 - \cdots - \beta_n \zeta_n^2
&lt;/math&gt;.

Предположим противное, что &lt;math&gt;k &lt; r&lt;/math&gt;. Заметим, что указанные линейные преобразования являются обратимыми, поэтому имеем

&lt;math&gt;
{\bf y} = {\bf B}^{-1}{\bf x} \Leftrightarrow  \eta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j },   i = \overline {1,n},
&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;
{\bf z} = {\bf C}^{ - 1}{\bf x}  \Leftrightarrow   \zeta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j },   i = \overline {1,n} .
&lt;/math&gt;

Положим &lt;math&gt;\eta_1 = \eta_2 = \cdots = \eta_k = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\zeta_{r + 1} = \zeta _{r + 2} = \cdots = \zeta_n = 0&lt;/math&gt;. Указанные равенства определяют систему линейных алгебраических уравнений

&lt;math&gt;
\label{eq5}
\left\{ 
\begin{array}{l}
 \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j = 0,    i = \overline {1,k}, } \\ 
 \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j = 0,    i = \overline {r + 1,n} .} \\ 
\end{array}
\right. 
&lt;/math&gt;

Число уравнений в системе равно &lt;math&gt;k + n - r&lt;/math&gt;, а число неизвестных &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. 
По предположению &lt;math&gt;k &lt; r&lt;/math&gt;, поэтому &lt;math&gt;k + n - r &lt; n&lt;/math&gt;. 
Следовательно, система имеет нетривиальное решение &lt;math&gt;\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast &lt;/math&gt;. 

Тогда &lt;math&gt;\eta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j^\ast }&lt;/math&gt;, причем &lt;math&gt;\eta_{1 }^\ast = \eta_{2 }^\ast = \cdots = \eta_{k }^\ast = 0&lt;/math&gt;, а &lt;math&gt;\zeta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j^\ast }&lt;/math&gt;, 
где &lt;math&gt;\zeta_{r + 1}^\ast = \zeta_{r + 2}^\ast = \cdots = \zeta_{n}^\ast = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;. 
Поэтому, с одной стороны, имеем
&lt;math&gt;
f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ...,\xi_n^\ast ) = g(\eta_1^\ast, \eta_2^\ast, ...,\eta_n^\ast ) = - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^{\ast 2} - \cdots - \alpha_n \eta_n^{\ast 2} &lt; 0,
&lt;/math&gt;
а с другой стороны, получаем
&lt;math&gt;
f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast ) = \varphi (\zeta_1^\ast, \zeta_2^\ast, ..., \zeta_n^\ast ) = \beta_1 \zeta_1^{\ast 2} + \cdots + \alpha_r \zeta_r^{\ast 2} &gt; 0.
&lt;/math&gt;

Полученное противоречие доказывает, что &lt;math&gt;k = r = N^{+}&lt;/math&gt;.
}}

{{Замечание
|content=Так как число ненулевых коэффициентов в каноническом виде данной квадратичной формы не зависит от выбора преобразования и равно ее рангу, то, 
очевидно, что и &lt;math&gt;N^{-}&lt;/math&gt; также не зависит от способа приведения &lt;math&gt;f({\bf x})&lt;/math&gt; к каноническому виду.
}}</text>
    <sha1>d5e5646d9b7434223b5da55a7d82e7ec36c739b2</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>131</id>
    <parentid>130</parentid>
    <timestamp>2021-11-23T10:06:02Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5627" xml:space="preserve">Канонический вид любой квадратичной формы определен неоднозначно. Например, если квадратичная форма имеет канонический вид
&lt;math&gt;
f(\xi_1, \xi_2, ...,\xi_n ) = \lambda_1 \xi_1^2 + \cdots + \lambda_k \xi_k^2 - \lambda_{k + 1} \xi_{k + 1}^2 - \cdots - \lambda_n \xi_n^2, 
&lt;/math&gt;
где &lt;math&gt;\lambda_i \ge 0&lt;/math&gt; для любого &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;, то всегда можно 
сделать еще одно невырожденное преобразование по формулам &lt;math&gt;\eta_1 = \sqrt {\lambda_1 } \xi_1&lt;/math&gt;, ...,  &lt;math&gt;\eta_k = \sqrt {\lambda_k } \xi_k&lt;/math&gt;, ...,  &lt;math&gt;\eta_n = \sqrt {\lambda_n } \xi_n&lt;/math&gt;, в результате которого получаем 
&lt;math&gt;
g(\eta_1, \eta_2, ...,\eta_n ) = \eta_1^2 + \cdots + \eta_k^2 - \eta _{k + 1}^2 - \cdots - \eta_n^2 .
&lt;/math&gt;

Общим у этих квадратичных форм является количество &lt;math&gt;N^{+}&lt;/math&gt; положительных коэффициентов и количество &lt;math&gt;N^{-}&lt;/math&gt; отрицательных коэффициентов. 
Таким образом, общее число ненулевых коэффициентов составляет &lt;math&gt;N^{+} + N^{-}&lt;/math&gt;, а оно равно рангу квадратичной формы.

{{Теорема
|id=Th1 
|about=закон инерции
|statement=Число положительных и число отрицательных коэффициентов при квадратах переменных в каноническом виде данной квадратичной формы, к которому она приводится в результате невырожденного линейного преобразования, не зависит от выбора указанного преобразования.
|proof=Пусть квадратичная форма &lt;math&gt;f({\bf x})=f(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n )&lt;/math&gt; с помощью невырожденного 
преобразования &lt;math&gt;{\bf x} = {\bf By}&lt;/math&gt; приводится к каноническому виду
&lt;math&gt;
g({\bf y}) = g(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n ) = \alpha_1 \eta_1^2 + \cdots + \alpha_k \eta_k^2 - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^2 - \cdots - \alpha_n \eta_n^2
&lt;/math&gt;, 
где &lt;math&gt;\alpha_i \ge 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;, а в результате преобразования &lt;math&gt;{\bf x} = {\bf Cz}&lt;/math&gt; к виду
&lt;math&gt;
\varphi ({\bf z}) = \varphi (\zeta_1, \zeta_2, ..., \zeta_n ) = \beta_1 \zeta_1^2 + \cdots + \beta_r \eta_r^2 - \beta_{r + 1} \eta_{r + 1}^2 - \cdots - \beta_n \zeta_n^2
&lt;/math&gt;.

Предположим противное, что &lt;math&gt;k &lt; r&lt;/math&gt;. Заметим, что указанные линейные преобразования являются обратимыми, поэтому имеем

&lt;math&gt;
{\bf y} = {\bf B}^{-1}{\bf x} \Leftrightarrow  \eta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j },   i = \overline {1,n},
&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;
{\bf z} = {\bf C}^{ - 1}{\bf x}  \Leftrightarrow   \zeta_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j },   i = \overline {1,n} .
&lt;/math&gt;

Положим &lt;math&gt;\eta_1 = \eta_2 = \cdots = \eta_k = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\zeta_{r + 1} = \zeta _{r + 2} = \cdots = \zeta_n = 0&lt;/math&gt;. Указанные равенства определяют систему линейных алгебраических уравнений

&lt;math&gt;
\label{eq5}
\left\{ 
\begin{array}{l}
 \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j = 0,    i = \overline {1,k}, } \\ 
 \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j = 0,    i = \overline {r + 1,n} .} \\ 
\end{array}
\right. 
&lt;/math&gt;

Число уравнений в системе равно &lt;math&gt;k + n - r&lt;/math&gt;, а число неизвестных &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. 
По предположению &lt;math&gt;k &lt; r&lt;/math&gt;, поэтому &lt;math&gt;k + n - r &lt; n&lt;/math&gt;. 
Следовательно, система имеет нетривиальное решение &lt;math&gt;\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast &lt;/math&gt;. 

Тогда &lt;math&gt;\eta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu_{ij} \xi_j^\ast }&lt;/math&gt;, причем &lt;math&gt;\eta_{1 }^\ast = \eta_{2 }^\ast = \cdots = \eta_{k }^\ast = 0&lt;/math&gt;, а &lt;math&gt;\zeta_i^\ast = \sum\limits_{j = 1}^n {\theta_{ij} \xi_j^\ast }&lt;/math&gt;, 
где &lt;math&gt;\zeta_{r + 1}^\ast = \zeta_{r + 2}^\ast = \cdots = \zeta_{n}^\ast = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;. 
Поэтому, с одной стороны, имеем
&lt;math&gt;
f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ...,\xi_n^\ast ) = g(\eta_1^\ast, \eta_2^\ast, ...,\eta_n^\ast ) = - \alpha_{k + 1} \eta_{k + 1}^{\ast 2} - \cdots - \alpha_n \eta_n^{\ast 2} &lt; 0,
&lt;/math&gt;
а с другой стороны, получаем
&lt;math&gt;
f(\xi_1^\ast, \xi_2^\ast, ..., \xi_n^\ast ) = \varphi (\zeta_1^\ast, \zeta_2^\ast, ..., \zeta_n^\ast ) = \beta_1 \zeta_1^{\ast 2} + \cdots + \beta_r \zeta_r^{\ast 2} &gt; 0.
&lt;/math&gt;

Полученное противоречие доказывает, что &lt;math&gt;k = r = N^{+}&lt;/math&gt;.
}}

{{Замечание
|content=Так как число ненулевых коэффициентов в каноническом виде данной квадратичной формы не зависит от выбора преобразования и равно ее рангу, то, 
очевидно, что и &lt;math&gt;N^{-}&lt;/math&gt; также не зависит от способа приведения &lt;math&gt;f({\bf x})&lt;/math&gt; к каноническому виду.
}}</text>
    <sha1>2c405c6514001b5368b9c11901968dc11faa4383</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Последовательности в пространстве Rn</title>
  <ns>0</ns>
  <id>37</id>
  <revision>
    <id>132</id>
    <timestamp>2021-11-23T17:58:21Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Пусть каждому натуральному &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; поставлен в соответствие вектор  &lt;math&gt;{\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldo...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4663" xml:space="preserve">Пусть каждому натуральному &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; поставлен в соответствие вектор 
&lt;math&gt;{\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T&lt;/math&gt;.
Тогда говорят, что задана последовательность элементов в пространстве &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;\big\{ {\bf x}^{(k)}\big\}_{k=1}^{+\infty}&lt;/math&gt;.

{{Определение
|definition=Точка &lt;math&gt;{\bf a}\in R^n&lt;/math&gt; называется пределом последовательности &lt;math&gt;\big\{ {\bf x}^{(k)}\big\}&lt;/math&gt; при &lt;math&gt;k\to+\infty&lt;/math&gt; (пишут &lt;math&gt;{\bf a}=\lim\limits_{k\to+\infty}{\bf x}^{(k)}&lt;/math&gt;), если
для любого &lt;math&gt;\varepsilon \gt 0&lt;/math&gt; можно указать номер &lt;math&gt;K \gt 0&lt;/math&gt;, такой что при всех &lt;math&gt;k\geq K&lt;/math&gt; выполнено условие &lt;math&gt;\rho({\bf x}^{(k)},{\bf a}) \lt \varepsilon&lt;/math&gt;.
}}

{{Теорема
|statement=Пусть &lt;math&gt;{\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T&lt;/math&gt;. Тогда 
&lt;math&gt;{\bf a}=\lim\limits_{k\to+\infty}{\bf x}^{(k)}&lt;/math&gt;
тогда и только тогда, когда 
&lt;math&gt;a_i=\lim\limits_{k\to+\infty}x_i^{(k)},\quad i=1,\ldots,n.&lt;/math&gt;
|proof=Доказательство теоремы вытекает из леммы (об эквивалентности в плане близости сферической и параллелепипедальной метрик). В самом деле, согласно этой лемме, имеем что требование
&lt;math&gt;\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i^{(k)}-a_i)^2}\to0\quad\hbox{при}\quad k\to+\infty&lt;/math&gt;
эквивалентно требованию &lt;math&gt;\max_{i=1,\ldots,n}|x_i^{(k)}-a_i|\to0\quad\hbox{при}\quad k\to+\infty&lt;/math&gt;.
}}

Таким образом, исследование сходимости последовательности в &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; сводится к исследованию сходимости одномерных числовых последовательностей.
Значит, вся теория, построенная ранее для одномерных числовых последовательностей, может быть распространена и на многомерный случай. 
Единственно, стоит заметить, что пространство &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; не упорядочено, т.е.
между его элементами не установлены операции отношения "&lt;math&gt;\lt&lt;/math&gt;", "&lt;math&gt;\gt&lt;/math&gt;", "&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;", "&lt;math&gt;\geq&lt;/math&gt;". Поэтому теоремы из одномерного анализа, 
где используются эти операции, напрямую на многомерный случай не переносятся. 

{{Определение
|definition=Последовательность &lt;math&gt;\big\{ {\bf x}^{(k)}\big\}&lt;/math&gt; называется ограниченной, если существует &lt;math&gt;M \geq 0&lt;/math&gt;, такое что
&lt;math&gt;\rho({\bf x}^{(k)},{\bf0})\leq M&lt;/math&gt; при всех &lt;math&gt;k=1,2,\ldots&lt;/math&gt;. Здесь &lt;math&gt;{\bf 0}=(0,\ldots,0)^T&lt;/math&gt; {{---}} нулевой элемент пространства &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt;.
}}

Для пространства &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; верны следующие утверждения:
* Если предел последовательности существует, то он единственен.
* Если последовательность сходится, то она ограничена.
* Сходимость последовательности эквивалентна выполнению критерия Коши: для любого &lt;math&gt;\varepsilon \gt 0&lt;/math&gt; можно найти такое &lt;math&gt;K \gt 0&lt;/math&gt;, что для любых натуральных &lt;math&gt;k\geq K&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;p \geq 0&lt;/math&gt; имеет место условие &lt;math&gt;\rho({\bf x}^{(k+p)},{\bf x}^{(k)}) \lt \varepsilon&lt;/math&gt;. 
* Справедливы арифметические свойства предела.
* Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.
* Справедлива теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
* И т.д.</text>
    <sha1>ac071040178b6536f1abf6401c1a1ba7eedd1403</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Матрицы и операции с ними</title>
  <ns>0</ns>
  <id>38</id>
  <revision>
    <id>133</id>
    <timestamp>2021-11-23T18:10:03Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <comment>Добавлены ссылки на полезные видео. Updated by t.o.r.t.i.k1</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="986" xml:space="preserve">{{Определение 
|definition=Матрицей называется таблица элементов, состоящая из '''m''' строк и '''n''' столбцов.
}}


Ссылки на полезные источники:

*[https://www.youtube.com/watch?v=b7NbUd5rGgQ&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=2 KhanAcademyRussian - Введение в матрицы]
*[https://www.youtube.com/watch?v=XeLppMkWwKI&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=3 KhanAcademyRussian - Сложение и вычитание матриц]
*[https://youtu.be/bg_gxWOufsA KhanAcademyRussian - Транспонирование матриц]
*[https://www.youtube.com/watch?v=uhtlPbYlMPs&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=5 KhanAcademyRussian - Умножение матриц. Часть 1]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ax-nTuBRj4g&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=6  KhanAcademyRussian - Умножение матриц. Часть 2]</text>
    <sha1>1d6744a5f61d6d9cca2f1c914d8bb2401b3809cd</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>137</id>
    <parentid>133</parentid>
    <timestamp>2021-11-23T18:26:22Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1004" xml:space="preserve">{{Определение 
|definition=Матрицей называется таблица элементов, состоящая из &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; строк и &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; столбцов.
}}


== Ссылки на полезные источники ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=b7NbUd5rGgQ&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=2 KhanAcademyRussian: Введение в матрицы]
* [https://www.youtube.com/watch?v=XeLppMkWwKI&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=3 KhanAcademyRussian: Сложение и вычитание матриц]
* [https://youtu.be/bg_gxWOufsA KhanAcademyRussian: Транспонирование матриц]
* [https://www.youtube.com/watch?v=uhtlPbYlMPs&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=5 KhanAcademyRussian: Умножение матриц. Часть 1]
* [https://www.youtube.com/watch?v=ax-nTuBRj4g&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=6  KhanAcademyRussian: Умножение матриц. Часть 2]</text>
    <sha1>5a9b17424115bdae88b077b295943672fdac39fa</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Определители второго и третьего порядка</title>
  <ns>0</ns>
  <id>39</id>
  <revision>
    <id>134</id>
    <timestamp>2021-11-23T18:20:02Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Полезные ссылки: *[https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=8 KhunAcademyRussian - Нахожден...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="685" xml:space="preserve">Полезные ссылки:
*[https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=8 KhunAcademyRussian - Нахождение детерминанта(определителя) матрицы второго порядка]
*[https://www.youtube.com/watch?v=Fkbe8XyMgOg&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=12 KhanAcademyRussian - Вычисление определителя матрицы 3х3 (первый способ)]
*[https://www.youtube.com/watch?v=J9ElsNvxVIs&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=13 KhanAcademyRussian - Вычисление определителя матрицы 3х3 (второй способ)]</text>
    <sha1>d1ec3dde768a4d2314842e30329b9d4296c89004</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>136</id>
    <parentid>134</parentid>
    <timestamp>2021-11-23T18:25:01Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="690" xml:space="preserve">== Полезные ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=WBDOB2q7bbU&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=8 KhunAcademyRussian: Нахождение детерминанта(определителя) матрицы второго порядка]
* [https://www.youtube.com/watch?v=Fkbe8XyMgOg&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=12 KhanAcademyRussian: Вычисление определителя матрицы 3х3 (первый способ)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=J9ElsNvxVIs&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=13 KhanAcademyRussian: Вычисление определителя матрицы 3х3 (второй способ)]</text>
    <sha1>cddd14a4a59408dbc1d8605c62ceca3763a7b63e</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Алгебраические дополнения и миноры</title>
  <ns>0</ns>
  <id>40</id>
  <revision>
    <id>135</id>
    <timestamp>2021-11-23T18:22:36Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Полезные ссылки: *[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=14 KhanAcademyRussian - Матрица...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="245" xml:space="preserve">Полезные ссылки:
*[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=14 KhanAcademyRussian - Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]</text>
    <sha1>648d005aeed9b9d9b40d7c27ef66075409be6833</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>138</id>
    <parentid>135</parentid>
    <timestamp>2021-11-23T18:31:32Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="249" xml:space="preserve">==Полезные ссылки:==
*[https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=14 KhanAcademyRussian - Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]</text>
    <sha1>a6dd049ffb14eb9c8b7f7012aa6d274216bd5471</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>140</id>
    <parentid>138</parentid>
    <timestamp>2021-11-23T19:27:40Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="250" xml:space="preserve">== Полезные ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=t0MSqnTMpAk&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=14 KhanAcademyRussian: Матрица миноров и матрица алгебраических дополнений]</text>
    <sha1>719c3e7846c477a08f39583723bdbd5c55fa9a41</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Обратная матрица</title>
  <ns>0</ns>
  <id>41</id>
  <revision>
    <id>139</id>
    <timestamp>2021-11-23T18:42:30Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «==Полезные ссылки:== *[https://www.youtube.com/watch?v=QrVhx6tWZyE&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=15 KhanAcademyRussian - Опред...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="720" xml:space="preserve">==Полезные ссылки:==
*[https://www.youtube.com/watch?v=QrVhx6tWZyE&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=15 KhanAcademyRussian - Определитель и союзная матрица]
*[https://www.youtube.com/watch?v=vFnFQ8qSEao&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=7 KhanAcademyRussian - Единичная и обратная матpицы(Часть 1)]
*[https://www.youtube.com/watch?v=iUyoeXNCGYE&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=16 KhanAcademyRussian - Обратные матрицы (Часть 2)]
*[https://www.youtube.com/watch?v=USYSUIkeB4M&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=17 KhanAcademyRussian - Обратные матрицы (Часть 3)]</text>
    <sha1>de51a2487a64a2a938cf01e13117268f3d438654</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>141</id>
    <parentid>139</parentid>
    <timestamp>2021-11-23T19:28:47Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="721" xml:space="preserve">== Полезные ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=QrVhx6tWZyE&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=15 KhanAcademyRussian: Определитель и союзная матрица]
* [https://www.youtube.com/watch?v=vFnFQ8qSEao&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=7 KhanAcademyRussian: Единичная и обратная матpицы(Часть 1)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=iUyoeXNCGYE&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=16 KhanAcademyRussian: Обратные матрицы (Часть 2)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=USYSUIkeB4M&amp;list=PLxGo9dxQkqWC0zB7_agKHKbQYkqLrsL3s&amp;index=17 KhanAcademyRussian: Обратные матрицы (Часть 3)]</text>
    <sha1>52e80e928a26bdd76c126a612150a7a0465f3307</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Функции сохраняющие ноль</title>
  <ns>0</ns>
  <id>42</id>
  <revision>
    <id>142</id>
    <timestamp>2021-11-25T12:04:51Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition= Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in P_2&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; называют функцией, сохраняющей но...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1694" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in P_2&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; называют функцией, сохраняющей ноль, если &lt;math&gt;f(0,...,0) = 0&lt;/math&gt;.
}}
Множество всех функций сохраняющих 0 обозначим &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;T_0 = \{f(x_1,...,x_n) | f\in P_2,  f(0,...,0) = 0\}.&lt;/math&gt;
{{Утверждение
|statement=Класс функций &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt; замкнут.
|proof=Рассмотрим суперпозицию ранга 1 от функций из &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt;.

a) Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in T_0&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y) =f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;.
Тогда &lt;math&gt;g(0,...,0) = f(0,...,0) = 0&lt;/math&gt;. Следовательно, &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)\in T_0&lt;/math&gt;.

b) Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in T_0&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;h(y_1, ..., y_m)\in T_0&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m) = f(x_1,...,x_{j-1},h(y_1,...,y_{m}),x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;.
Тогда &lt;math&gt;g(0,...,0) = f(0,...,0,h(0,...,0),0,...,0) = f(0,...,0,0,0,...,0) = 0&lt;/math&gt;.

Получаем, что &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)\in T_0&lt;/math&gt;.

Таким образом, &lt;math&gt;[T_0] = T_0&lt;/math&gt;.
}}
Тождественная функция &lt;math&gt;f(x)=x&lt;/math&gt; лежит в классе &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt;.

Функция отрицания &lt;math&gt;f(x) = \overline x&lt;/math&gt; не лежит в &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt;.

Таким образом, &lt;math&gt;T_0\neq \varnothing&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;T_0\neq P_2&lt;/math&gt;.

[[Категория:Дискретная математика]]</text>
    <sha1>8d4e7ca3b6e1499c400872d416d95a565a2afa2f</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Категория:Дискретная математика</title>
  <ns>14</ns>
  <id>43</id>
  <revision>
    <id>143</id>
    <timestamp>2021-11-25T12:05:03Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Создана пустая страница</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Самодвойственные функции</title>
  <ns>0</ns>
  <id>22</id>
  <revision>
    <id>144</id>
    <parentid>90</parentid>
    <timestamp>2021-11-25T12:05:37Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="11826" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
Функция &lt;math&gt;f(x_1, ..., x_n)\in P_2&lt;/math&gt; {{---}} самодвойственная, если &lt;math&gt;f^*(x_1, ..., x_n) = f(x_1, ..., x_n)&lt;/math&gt;.
}}
Множество всех самодвойственных функций обозначим за &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;:
&lt;math&gt;S = \{ f | f(x_1, ..., x_n) \in P_2, f^*(x_1, ..., x_n) = f(x_1, ..., x_n) \}&lt;/math&gt;. 
{{Пример
|num=1
|content=
Пусть &lt;math&gt;f = x\vee y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f^* = \overline{\overline x \vee \overline y} = xy&lt;/math&gt;. 

&lt;math&gt;f\neq f^*&lt;/math&gt; и, следовательно, &lt;math&gt;f^*&lt;/math&gt; не является самодвойственной.
}}
{{Пример
|num=2
|content=
Пусть &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; {{---}} функция голосования: &lt;math&gt;f(x,y,z) = xy\vee xz\vee yz&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;f^*(x,y,z) = \overline{\overline x\cdot \overline y \vee \overline x\cdot \overline z \vee \overline y\cdot \overline z} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{\overline x\cdot \overline y} \cdot \overline{\overline x\cdot \overline z} \cdot \overline{\overline y\cdot \overline z} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= (x\vee y)(x\vee z)(y\vee z) &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= (x\vee xz\vee xy\vee yz)(y\vee z)&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= xy\vee xz \vee xyz \vee xz \vee xy\vee xyz \vee yz \vee yz &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= xy \vee xz \vee yz \vee xyz &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= xy \vee xz \vee yz = f(x,y,z).&lt;/math&gt;

Функция голосования {{---}} самодвойственная.
}}
Табличный вид функции голосования:
{|class="wikitable"
! x !! y !! z !! f(x,y,z)
|-
| 0 || 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 0 || 1 || 0
|-
| 0 || 1 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 0
|-
| 1 || 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 1 || 1
|}

Нижняя половина столбца значений повторяет перевернутую и инвертированную верхнюю. Это верно для любой самодвойственной функции.

== Принцип двойственности ==
{{Утверждение
|about=Принцип двойственности
|statement=
Пусть формула &lt;math&gt;\mathcal U = f(\mathcal U_1,...,\mathcal U_n)&lt;/math&gt; реализует функцию &lt;math&gt;F (x_1,...,x_m)&lt;/math&gt;, 
где &lt;math&gt;\mathcal U_i&lt;/math&gt; {{---}} формулы, реализующие  &lt;math&gt;f_{i}(x_{j_1},...,x_{j_{k_i}})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i=\overline{1,n}&lt;/math&gt;. 

Пусть &lt;math&gt;\mathcal U_i^*&lt;/math&gt; {{---}} формулы реализующие &lt;math&gt;f_{i}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i=\overline{1,n}&lt;/math&gt;. 

Тогда формула &lt;math&gt;\mathcal U^* = f^*(\mathcal U^*_1,...,\mathcal U^*_n)&lt;/math&gt; реализует функцию &lt;math&gt;F^*(x_1,...,x_m)&lt;/math&gt;.
|proof=
&lt;math&gt;F(x_1,...,x_m) = f(f_{1}(x_{i_1}, ..., x_{i_{k_1}}), ..., f_{n}(x_{j_1}, ..., x_{j_{k_n}})).&lt;/math&gt;

Тогда, по определению двойственной функции &lt;br /&gt;
&lt;math&gt;
F^*(x_1,...,x_m) = \overline f(f_{1}(\overline x_{i_1},...,\overline x_{i_{k_1}}), ..., f_{n}(\overline x_{j_1}, ..., \overline x_{j_{k_n}}))
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= \overline f(\overline {\overline f}_{1}(\overline x_{i_1},...,\overline x_{i_{k_1}}), ..., \overline {\overline f}_{n}(\overline x_{j_1},...,\overline x_{j_{k_n}}))
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= \overline f(\overline {f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}),...,\overline {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}}))
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= f^*({f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}})).
&lt;/math&gt;

С другой стороны, формула $f^*(\mathcal U_1^*,...,\mathcal U_n^*)$ реализует функцию 
&lt;math&gt;
f^*(f_{\mathcal U_1^*}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., f_{\mathcal U_n^*} (x_{j_1},...,x_{j_{k_n}}))  
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
= f^*({f^*}_{1}(x_{i_1},..., x_{i_{k_1}}), ..., {f^*}_{n}(x_{j_1},...,x_{j_{k_n}})).
&lt;/math&gt;

Таким образом, один из способов задать функцию &lt;math&gt;F^*(x_1, ...,x_m)&lt;/math&gt; формулой имеет вид &lt;math&gt;\mathcal U^* = f^*(\mathcal U_1^*, ..., \mathcal U_n^*)&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|num=3
|content=
Пусть &lt;math&gt;F(x,y,z) = (x\equiv y)\supset(y~|~z)= f(f_1(x,y),f_2(y,z))&lt;/math&gt;, &lt;br /&gt;
&lt;math&gt;f^*(x,y) = (x\supset y)^* = \overline{\overline x\supset\overline y}= \overline{x\vee \overline y} = \overline x y&lt;/math&gt;, &lt;br /&gt; 
&lt;math&gt;f_1^*(x,y) = (x\equiv y)^* = \overline{\overline x\equiv \overline y} =  \overline{x\equiv y} = x\oplus y&lt;/math&gt;, &lt;br /&gt;
&lt;math&gt;f_2^*(x,y) = (x~|~ y)^* = \overline{\overline x~|~\overline y} =  \overline{x\vee y} = \overline x\wedge \overline y = x\downarrow y&lt;/math&gt;.

Тогда по принципу двойственности  &lt;math&gt;F^*(x,y,z)&lt;/math&gt; будет иметь вид
&lt;math&gt;F^*(x,y,z) = f^*(f_1^*(x,y),f_2^*(y,z)) = \overline{(x\oplus y)}\wedge (y\downarrow z)&lt;/math&gt;.

Действительно,
&lt;math&gt;F^*(x,y,z) =  \neg {((\overline x\equiv \overline y)\supset(\overline y~|~\overline z))} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \neg (\overline{(x\equiv y)}\vee(y\vee z)) &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{\overline{(x\equiv y)}}\wedge\overline{(y\vee z)} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{(x\oplus y)}\wedge (y\downarrow z)&lt;/math&gt;.
}}
{{Следствие
|statement=
Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; задана формулой &lt;math&gt;\mathcal U&lt;/math&gt; над множеством функций &lt;math&gt;\{0,1, \neg, \vee,\wedge\}&lt;/math&gt;.
Тогда &lt;math&gt;f^*(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; задается формулой, полученной из &lt;math&gt;\mathcal U&lt;/math&gt; заменой: нулей на единицы, единиц на нули, конъюнкций на дизъюнкции, дизъюнкций на конъюнкции.
|proof=
Пусть &lt;math&gt;f=\neg f_1&lt;/math&gt;. 
Это значит, что &lt;math&gt;f = f_0(f_1)&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;f_0(x) = \overline x&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;f_0^* = \overline{\overline{\overline x}} = \overline x = f_0&lt;/math&gt;.

Следовательно, &lt;math&gt;f^* = f_0^*(f_1^*) = f_0(f_1^*) = \neg f_1^*&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = f_1\vee f_2&lt;/math&gt;. Другими словами, &lt;math&gt;f = f_0(f_1,f_2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_0(x,y) = x\vee y&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;f_0^* = \overline{\overline x \vee \overline y} = x\wedge y&lt;/math&gt; и
&lt;math&gt;f^* = f_0^*(f_1^*, f_2^*) = f_1^*\wedge f_2^*&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = f_1\wedge f_2&lt;/math&gt;. Другими словами, &lt;math&gt;f = f_0(f_1,f_2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_0(x,y) = x\wedge y&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;f_0^* = \overline{\overline x \wedge \overline y} = x\vee y&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;f^* = f_0^*(f_1^*, f_2^*) = f_1^*\vee f_2^*&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = 0&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f^* = 1&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f=1&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f^* = 0&lt;/math&gt;.

Пусть &lt;math&gt;f = x&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f^* = \overline{\overline x}=x = f&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|num=4
|content=
Пусть, &lt;math&gt;f(x,y,z) = 0\wedge x\wedge \overline y\vee 1\wedge y\wedge \overline z&lt;/math&gt;.

Тогда,
&lt;math&gt;
f^*(x,y,z) = \overline f(\overline x, \overline y, \overline z) 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=\neg(0\wedge \overline x\wedge\overline{\overline  y} \vee 1 \wedge \overline y\wedge \overline{ \overline z})
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline{(0\wedge \overline x\wedge y)} \wedge\overline{(1 \wedge \overline y\wedge z)} &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= (1 \vee x \vee \overline y)\wedge (0\vee y \vee \overline z)&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|num=5
|content=
Пусть &lt;math&gt;f(x,y,z) = (\overline{0\vee x})(y\vee \overline x z)&lt;/math&gt;.

Тогда
&lt;math&gt;f^*(x,y,z) = \neg((\overline{0\vee \overline x})(\overline y\vee \overline{\overline x}\wedge \overline z))&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=\neg(1\wedge x)(\overline y\vee  x\wedge \overline z))&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=(\overline{1\wedge x})\vee(\overline{\overline y\vee  x\wedge \overline z}))&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=(\overline{1\wedge x})\vee(y\wedge ( \overline x\vee z)))&lt;/math&gt;.
}}

== Замкнутость класса ==

{{Утверждение
|statement=
Класс функций &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; замкнут.
|proof=
Рассмотрим суперпозицию ранга 1 от функций из &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

a) Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in S&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y) = f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;.

Тогда 
&lt;math&gt;\overline g(\overline x_1,...,\overline x_{j-1},\overline x_{j+1},...,\overline x_n, \overline y) &lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1},\overline y,\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f^*(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)&lt;/math&gt;.

Следовательно &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y)\in S&lt;/math&gt;.

b) Пусть &lt;math&gt;f(x_1,...,x_n)\in S&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;h(y_1, ...,y_m)\in S&lt;/math&gt; и
&lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=f(x_1,...,x_{j-1},h(y_1,...,y_{m}),x_{j+1},...,x_{n})&lt;/math&gt;.

Тогда 
&lt;math&gt;\overline g(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline x_{j+1},...,\overline x_n, \overline y_1,...,\overline y_m)&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, h(\overline y_1,...,\overline y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline{\overline h}(\overline y_1,...,\overline y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= \overline f(\overline x_1,...,\overline x_{j-1}, \overline{ h^*}( y_1,...,y_{m}),\overline x_{j+1},...,\overline x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f^*(x_1,..., x_{j-1}, { h^*}( y_1,...,y_{m}), x_{j+1},..., x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= f(x_1,..., x_{j-1}, { h}( y_1,...,y_{m}), x_{j+1},..., x_{n})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;= g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)&lt;/math&gt;.

Получаем, что &lt;math&gt;g(x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n, y_1,...,y_m)\in S&lt;/math&gt;.

Таким образом, &lt;math&gt;[S] = S&lt;/math&gt;.
}}
{{Замечание
|content=
Тождественная функция $f(x)=x$ лежит в классе $S$.

Конъюнкция $f(x) = x \wedge y$ не лежит в $S$.

Таким образом, $S\neq \varnothing$ и $S\neq P_2$.
}}
{{Лемма
|about=о несамодвойственной функции
|statement=
Пусть &lt;math&gt;f(x_1, ..., x_n) \notin S&lt;/math&gt;. Тогда, подставляя в &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; вместо аргументов переменные &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; и их отрицание &lt;math&gt;\overline x&lt;/math&gt;, можно получить константу.
|proof=
Пусть &lt;math&gt;(\alpha_1,...,\alpha_n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\alpha_i\in\{0,1\}&lt;/math&gt;, такой набор, что &lt;math&gt;f(\alpha_1,...,\alpha_n) = f(\overline \alpha_1,...,\overline\alpha_n)&lt;/math&gt;.
Такой набор обязан существовать в силу несамодвойственности функции &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.

Рассмотрим функцию &lt;math&gt;\varphi(x) = f(x^{\alpha_1}, ..., x^{\alpha_n})&lt;/math&gt;. 

Тогда 
&lt;math&gt;\varphi(0) = f(0^{\alpha_1}, ..., 0^{\alpha_n}) =  f({\alpha_1}^0,...,{\alpha_n}^0) =  f(\overline\alpha_1,...,\overline \alpha_n)  &lt;/math&gt;
&lt;math&gt; = f(\alpha_1,...,\alpha_n) =  f(1^{\alpha_1},...,1^{\alpha_n}) = \varphi(1)&lt;/math&gt;.

Следовательно $\varphi(x)$ {{---}} константа.
}}
{{Пример
|content=
Получение константы из несамодвойственной функции

Пусть &lt;math&gt;f(x,y,z) = x\supset (y\oplus z)&lt;/math&gt;. 

Это несамодвойственная функция, поскольку &lt;math&gt;f(0,1,0) = 0\supset (1\oplus 0) =1= 1\supset (0\oplus 1) =f(1,0,1)&lt;/math&gt;.

Тогда &lt;math&gt;\varphi(x) = f(\overline x, x, \overline x)&lt;/math&gt; {{---}} константа. 

Действительно, &lt;math&gt;\varphi(x) = \overline x\supset(x\oplus \overline x) =  \overline x\supset 1 = 1&lt;/math&gt;.
}}

[[Категория:Дискретная математика]]</text>
    <sha1>f04b3df7881b599ad938eaa4bffd6fd830b51d7a</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Пространство Rn</title>
  <ns>0</ns>
  <id>44</id>
  <revision>
    <id>145</id>
    <timestamp>2021-11-25T13:19:31Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition= Пространством &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; будем называть совокупность упорядоченных...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="6380" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
Пространством &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; будем называть совокупность упорядоченных наборов из &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; вещественных чисел или, что тоже самое, совокупность &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-мерных векторов, т.е.
&lt;math&gt;R^n=\{{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T,  \hbox{ где }  x_i\in R,  i=1,\ldots,n\}&lt;/math&gt;.

Число &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; в этом случае будет размерностью пространства.
}}
Так &lt;math&gt;R^1=R&lt;/math&gt; {{---}} одномерное множество вещественных чисел, пространство &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt; задает множество точек на плоскости, &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt; представляет собой наше трехмерное пространство, и т.д.

== Метрика в пространстве &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; ==

Для произвольных &lt;math&gt;{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T&lt;/math&gt; можно положить
&lt;math&gt;\rho_1({\bf x},{\bf y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}&lt;/math&gt;.
Такая метрика называется сферической (или евклидовой). Она равна геометрическому расстоянию между точками &lt;math&gt;{\bf x}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;{\bf y}&lt;/math&gt;.

Проверим аксиомы для этой метрики. Неотрицательность и симметричность, очевидно, имеют место. Докажем справедливость неравенства треугольника.

Для любых чисел &lt;math&gt;t,a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n&lt;/math&gt; верно неравенство &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n(a_it+b_i)^2 \geq 0&lt;/math&gt;.
Отсюда имеем
&lt;math&gt;
At^2+2Bt+C\geq0,
&lt;/math&gt;
где &lt;math&gt;A=\sum\limits_{i=1}^na_i^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B=\sum\limits_{i=1}^na_ib_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C=\sum\limits_{i=1}^nb_i^2&lt;/math&gt;. Поскольку неравенство выполняется при всех &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;, то соответствующий
дискриминант квадратичного выражения должен удовлетворять условию: &lt;math&gt;B^2-AC\leq0&lt;/math&gt;. Значит,
&lt;math&gt;
\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2-\left(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2\right)\leq0.
&lt;/math&gt;

Тогда &lt;math&gt;\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}.&lt;/math&gt; 

Получаем
&lt;math&gt;
\sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2},
&lt;/math&gt; 
или
&lt;math&gt;\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\leq\left(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}\right)^2.&lt;/math&gt;

В результате находим, что
&lt;math&gt;
\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2}\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}.
&lt;/math&gt;

Выберем произвольные &lt;math&gt;{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\bf z}=(z_1,\ldots,z_n)^T&lt;/math&gt;. Положим:
&lt;math&gt;a_i=x_i-z_i,\quad b_i=z_i-y_i,\quad i=1,\dots,n.&lt;/math&gt;
Приходим к неравенству треугольника. Следовательно все аксиомы для сферической метрики выполнены.

Заметим, что окрестность 
&lt;math&gt;U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_1({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\}&lt;/math&gt;
представляет собой геометрический шар (поэтому данная метрика и называется сферической).

Метрику можно вводить по-разному, вопрос лишь в удобстве использования той или иной формулы при решении различных задач.
Так, например, для пространства &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; можно положить
&lt;math&gt;\rho_2({\bf x},{\bf y})=\max_{i=1,\ldots,n}|x_i-y_i|,&lt;/math&gt;
все аксиомы метрики также будут выполнены.

Окрестность                                        
&lt;math&gt;U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_2({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\}&lt;/math&gt;
в этом случае представляет собой геометрический параллелепипед. Поэтому метрику &lt;math&gt;\rho_2&lt;/math&gt; принято называть параллелепипедальной.

Отметим, что при &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; эти две метрики совпадают (&lt;math&gt;\rho_1(x,y)=\rho_2(x,y)=|x-y|&lt;/math&gt;).

{{Лемма
|statement=Для любого &lt;math&gt;{\bf x}\in R^n&lt;/math&gt; верно:
* для любого &lt;math&gt;\varepsilon \gt 0&lt;/math&gt; можно указать такое &lt;math&gt;\varepsilon_1 \gt 0&lt;/math&gt;, что &lt;math&gt;U_{\varepsilon_1}^{(2)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x})&lt;/math&gt;;&lt;/li&gt;
* для любого &lt;math&gt;\varepsilon \gt 0&lt;/math&gt; можно указать такое &lt;math&gt;\varepsilon_2 \gt 0&lt;/math&gt;, что &lt;math&gt;U_{\varepsilon_2}^{(1)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x})&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
}}

Лемма утверждает, что в любую сферическую окрестность элемента из &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt; можно всегда поместить некоторую параллелепипедальную окрестность, и наоборот.
Из этого следует, что метрики &lt;math&gt;\rho_1&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\rho_2&lt;/math&gt; эквивалентны в плане близости элементов (т.е. все результаты, доказанные с использованием одной метрики, будут справедивы и для другой).

Есть и другие способы выбора метрики в пространстве &lt;math&gt;R^n&lt;/math&gt;. Далее, если не оговорено противное, под метрикой &lt;math&gt;\rho({\bf x},{\bf y})&lt;/math&gt; будем понимать евклидову (сферическую) метрику.</text>
    <sha1>04f2de87f9294289c7ccca9cf61ebe27b42e8d76</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Функции нескольких переменных. Предел функции</title>
  <ns>0</ns>
  <id>45</id>
  <revision>
    <id>146</id>
    <timestamp>2021-12-04T19:26:31Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Пусть задана область &lt;math&gt;D\subset R^n&lt;/math&gt;. Пусть каждой точке &lt;math&gt;{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T\in D&lt;/math&gt; поставле...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="14923" xml:space="preserve">Пусть задана область &lt;math&gt;D\subset R^n&lt;/math&gt;. Пусть каждой точке &lt;math&gt;{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T\in D&lt;/math&gt; поставлено в соответствие однозначным образом вещественное число &lt;math&gt;f({\bf x})=f(x_1,\ldots,x_n)&lt;/math&gt;. 
Тогда говорят, что определена скалярная вещественная функция нескольких переменных. Область &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; назовем областью определения функции &lt;math&gt;f({\bf x})&lt;/math&gt;.

Функция одной переменной &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; задает кривую на плоскости. Функция двух переменных &lt;math&gt;y=f(x_1,x_2)&lt;/math&gt; задает двумерную поверхность в трехмерном пространстве, и т.д.

{{Пример
|content=
Рассмотрим функцию &lt;math&gt;y=f(x_1,x_2)=\frac{\ln(x_1x_2)}{x_1^2+x_2^2}.&lt;/math&gt;
Областью определения этой функции является множество &lt;math&gt;D=\{{\bf x}=(x_1,x_2)^T\in R^2:\ x_1x_2 \gt 0\}.&lt;/math&gt;
Задавая различные значения двумерной переменной &lt;math&gt;{\bf x}\in D&lt;/math&gt;, будем получать различные значения функции. 
При этом точка &lt;math&gt;(x_1,x_2,y)^T&lt;/math&gt; будет пробегать по некоторой поверхности.
Пусть, например, &lt;math&gt;x_1=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2=2&lt;/math&gt;. 
В этой точке функция принимает значение &lt;math&gt;y=f(1,2)=(\ln2)/5&lt;/math&gt;.
}}

{{Определение
|definition= Величина &lt;math&gt;\hbox{ diam} D=\sup_{{\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}\in D}\rho({\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}) &lt;/math&gt;
называется диаметром области &lt;math&gt;D&lt;/math&gt;. Если &lt;math&gt;\hbox{diam } D \lt +\infty&lt;/math&gt;, то область &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; называется ограниченной.
}}

{{Определение
|definition= Область &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; называется связной, если любые две точки этой области можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этой области.
}}

{{Определение
|definition= Пусть &lt;math&gt;{\bf a}&lt;/math&gt; &amp;#8212; предельная точка области &lt;math&gt;D\subset R^n&lt;/math&gt;. Число &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; называется пределом функции &lt;math&gt;f({\bf x})&lt;/math&gt; в точке &lt;math&gt;{\bf a}&lt;/math&gt; (предела функции по Гейне):
&lt;math&gt;
g=\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x}), \tag{1}
&lt;/math&gt;
если для любой последовательности точек &lt;math&gt;\big\{{\bf x}^{(k)}\big\}&lt;/math&gt; из области &lt;math&gt;D&lt;/math&gt;, таких что &lt;math&gt;{\bf x}^{(k)}\to{\bf a}&lt;/math&gt;
при &lt;math&gt;k\to+\infty&lt;/math&gt;, выполняется условие &lt;math&gt;f({\bf x}^{(k)})\to g&lt;/math&gt; при &lt;math&gt;k\to+\infty&lt;/math&gt;.
}}

Таким образом, как и в одномерном случае, определение предела функции сводится к понятию предела последовательности. Смысл определения предела: вдоль любого пути в области
задания функции, ведущего к предельной точке, значение функции должно стремиться к одному и тому же числу. В одномерном случае мы могли приближаться к предельной точке на 
вещественной прямой слева и справа (вводились лево и правосторонние пределы). В многомерном случае (на плоскости, в трехмерном пространстве, и т.д.) мы можем приближаться к предельной
точке как угодно (по прямой, по спирали, и т.д.).

Пусть &lt;math&gt;{\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T&lt;/math&gt;. 

Зафиксируем переменные &lt;math&gt;x_2,\ldots,x_n&lt;/math&gt;, а переменную &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; устремим к &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;. Рассмотрим одномерный предел
&lt;math&gt;f^{(1)}(x_2,\ldots,x_n)=\lim_{x_1\to a_1}f(x_1,x_2,\ldots,x_n).&lt;/math&gt;
После этого, оставляя фиксированными переменные &lt;math&gt;x_3,\ldots,x_n&lt;/math&gt;, устремим переменную &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; к &lt;math&gt;a_2&lt;/math&gt;, и т.д. В результате придем к так называемому повторному пределу
&lt;math&gt;\lim_{x_n\to a_n}\ldots\lim_{x_1\to a_1}f(x_1,\ldots,x_n).&lt;/math&gt;
Если фиксировать переменные в другом порядке, получим другой повторный предел. Всего, очевидно, можно построить &lt;math&gt;n!&lt;/math&gt; повторных пределов. Так, если &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, то будет два
повторных предела
&lt;math&gt;\lim_{x_1\to a_1} \lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2),\quad \lim_{x_2\to a_2} \lim_{x_1\to a_1}f(x_1,x_2).&lt;/math&gt;

Повторный предел состоит из нескольких одномерных пределов (каждый раз ищем предел только по одной из переменных). Нетрудно доказать, что если существует многомерный предел
и какой-то из повторных пределов, то они равны между собой (т.е. вычисление многомерного предела можно свести к вычислению нескольких одномерных пределов).

{{Пример
|content= Имеем &lt;math&gt;\lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}(x_1^2+x_2^2)=\lim_{x_1\to0} \lim_{x_2\to0}(x_1^2+x_2^2)=\lim_{x_1\to0}x_1^2=0.&lt;/math&gt;
}}

Однако, существование многомерного предела не гарантирует существование повторного предела, и наоборот. 


{{Пример
|content= Пусть &lt;math&gt;{\bf a}=(0,0)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x_1,x_2)=\frac{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}.&lt;/math&gt;

Оба повторных предела здесь существуют
&lt;math&gt;
\lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2)=\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2)=0.
&lt;/math&gt;

В то же время, многомерного предела
&lt;math&gt;
\lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}f(x_1,x_2)
&lt;/math&gt;
здесь не будет. В самом деле, будем двигаться вдоль лучей, ведущих в начало координат:
&lt;math&gt;
x_1\to0,\quad x_2=kx_1 \to 0,
&lt;/math&gt;
где коэффициент &lt;math&gt;k=\hbox{const}&lt;/math&gt; задает наклон луча. На этих лучах имеем
&lt;math&gt;\lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1)=\frac{k}{k^2+1}.&lt;/math&gt;
Этот предел существует, но зависит от выбора &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, т.е. вдоль разных лучей, ведущих в предельную точку, значение функции стремится к разным значениям. Значит, многомерного предела нет.

Рассмотрим теперь функцию
&lt;math&gt;f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2x_2}{x_1^4+x_2^2}.&lt;/math&gt;
В качестве предельной точки снова возьмем &lt;math&gt;{\bf a}=(0,0)^T&lt;/math&gt;. Аналогично получим, что соотношения для повторных пределов верны. Двигаясь вдоль лучей, находим, что предел
&lt;math&gt;\lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1)=\lim_{x_1\to0}\frac{kx_1}{x_1^2+k^2}=0&lt;/math&gt; не зависит от выбора &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Однако, это еще не означает, что многомерный предел существует, поскольку в определении предела предполагается движение по любым путям, ведущим к предельной точке,
не обязательно по лучам. Будем, например, двигаться по параболам:
&lt;math&gt;x_1\to0,\quad x_2=kx_1^2\to0.&lt;/math&gt;

Получим
&lt;math&gt;\lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1^2)=\frac{k}{k^2+1}.&lt;/math&gt;
Снова имеем зависимость от выбора &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, т.е. на каждой рассматриваемой параболе значение функции стремится к разным значениям. Значит, многомерного предела по-прежнему нет.
}}

{{Пример
|content= Рассмотрим теперь обратную ситуацию. Пусть &lt;math&gt;{\bf a}=(0,0)^T&lt;/math&gt;, 
&lt;math&gt;f(x_1,x_2)=x_1\sin\frac1{x_2}+x_2\sin\frac1{x_1}.&lt;/math&gt;

Учитывая предельное соотношение
&lt;math&gt;0\leq|f(x_1,x_2)|\leq|x_1|+|x_2|\to0\quad\hbox{при}\quad (x_1,x_2)^T\to(0,0)^T,&lt;/math&gt;
получаем, что многомерный предел существует:
&lt;math&gt;\lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}f(x_1,x_2)=0.&lt;/math&gt;

С другой стороны, ни одного из повторных пределов
&lt;math&gt;\lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2),\quad\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2)&lt;/math&gt;
здесь не будет.

Если, например, рассмотреть функцию
&lt;math&gt;f(x_1,x_2)=x_1+x_2\sin\frac1{x_1},&lt;/math&gt;
то получим, что повторный предел
&lt;math&gt;\lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2)=0&lt;/math&gt;
здесь существует, а повторный предел
&lt;math&gt;\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2)&lt;/math&gt;
нет.
}}

Таким образом, сводить многомерный предел к повторному можно, только убедившись в том, что оба они существуют.

Определение предела функции по Гейне удобно использовать в случаях, когда надо доказать, что предела нет. Для этого достаточно найти два пути, ведущих в предельную точку,
вдоль которых значение функции стремится к разным величинам, или один путь, вдоль которого значение функции вообще ни к чему не стремится. В тех случаях, когда предел существует,
часто бывает удобнее использовать другое определение предела функции.&lt;/p&gt;

{{Определение
|definition= Пусть &lt;math&gt;{\bf a}&lt;/math&gt; &amp;#8212; предельная точка области &lt;math&gt;D\subset R^n&lt;/math&gt;. Число &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; называется пределом функции &lt;math&gt;f({\bf x})&lt;/math&gt; в точке &lt;math&gt;{\bf a}&lt;/math&gt; (предел функции по Коши):
&lt;math&gt;g=\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})&lt;/math&gt;, 
если для любого &lt;math&gt;\varepsilon \gt 0&lt;/math&gt; можно указать &lt;math&gt;\delta \gt 0&lt;/math&gt;, такое что для всех &lt;math&gt;{\bf x}\in D&lt;/math&gt;, удовлетворяющих условию &lt;math&gt;\rho({\bf x},{\bf a}) \lt \delta&lt;/math&gt;,
будет иметь место неравенство &lt;math&gt;|f({\bf x})-g| \lt \varepsilon&lt;/math&gt;.}
}}

Будут верны те же теоремы, что и в одномерном случае.

{{Теорема 
|statement= Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.
}}

{{Теорема 
|about= критерий сходимости Коши
|statement= Для того, чтобы существовал конечный предел &lt;math&gt;\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})&lt;/math&gt; необходимо и достаточно, чтобы
для любого &lt;math&gt;\varepsilon \gt 0&lt;/math&gt; можно было указать &lt;math&gt;\delta \gt 0&lt;/math&gt; так, чтобы для всех &lt;math&gt;{\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}\in D&lt;/math&gt;, удовлетворяющих условиям 
&lt;math&gt;\rho({\bf x}^{(1)},{\bf a}) \lt \delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\rho({\bf x}^{(2)},{\bf a}) \lt \delta&lt;/math&gt;,
имело место неравенство &lt;math&gt;|f({\bf x}^{(1)})-f({\bf x}^{(2)})| \lt \varepsilon&lt;/math&gt;.
}}

{{Теорема 
|about=арифметические свойства предела
|statement= Пусть существуют пределы
&lt;math&gt;\lim_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})=g,\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}h({\bf x})=r&lt;/math&gt;.

Тогда:
&lt;math&gt;\lim_{{\bf x}\to{\bf a}}(f({\bf x})\pm h({\bf x}))=g\pm r,\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}(f({\bf x})h({\bf x}))=gr&lt;/math&gt;,
а если &lt;math&gt;r\not=0&lt;/math&gt;, то 
&lt;math&gt;\lim_{{\bf x}\to{\bf a}}\frac{f({\bf x})}{h({\bf x})}=\frac{g}{r}&lt;/math&gt;.
}}

{{Определение
|definition= Пусть функция &lt;math&gt;y=f(x_1,\ldots,x_n)&lt;/math&gt; определена в области &lt;math&gt;D\subset R^n&lt;/math&gt;, а функции
&lt;math&gt;x_1=h_1(t_1,\ldots,t_m),\ldots, x_n=h_n(t_1,\ldots,t_m)&lt;/math&gt;
определены в области &lt;math&gt;G\subset R^m&lt;/math&gt;. Тогда функция
&lt;math&gt;y=f\left({\bf h}({\bf t})\right)=f\left(h_1(t_1,\ldots,t_m),\ldots,h_n(t_1,\ldots,t_m)\right)&lt;/math&gt;
называется суперпозицией скалярной функции &lt;math&gt;f({\bf x})&lt;/math&gt; и векторной функции &lt;math&gt;{\bf h}({\bf t})&lt;/math&gt;, или иначе, сложной функцией. Здесь
&lt;math&gt;{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\bf t}=(t_1,\ldots,t_m)^T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\bf h}({\bf t})=(h_1({\bf t}),\ldots,h_n({\bf t}))^T&lt;/math&gt;. 
}}

&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Пример. &lt;/strong&gt;  Из функций &lt;math&gt;y=x_1x_3+x_2^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_1=\sqrt{t_1+t_2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2=t_1t_2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_3=\sin{t_1}&lt;/math&gt; можно построить суперпозицию
&lt;math&gt;y=\sqrt{t_1+t_2}\sin{t_1}+t_1^2t_2^2&lt;/math&gt;.
&lt;/p&gt;

{{Теорема 
|about=о суперпозиции пределов
|statement= Пусть &lt;math&gt;{\bf b}=(b_1,\ldots,b_m)^T&lt;/math&gt; &amp;#8212; предельная точка области &lt;math&gt;G\in R^m&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;{\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T&lt;/math&gt; &amp;#8212; предельная точка области &lt;math&gt;D\in R^n&lt;/math&gt;. Тогда если существуют пределы
&lt;math&gt;\lim_{{\bf t}\to{\bf b}}{\bf h}({\bf t})={\bf a},\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})=g&lt;/math&gt;,
то &lt;math&gt;\lim_{{\bf t}\to{\bf b}}f\left({\bf h}({\bf t})\right)=g&lt;/math&gt;.
}}</text>
    <sha1>ecb1337a82d0a01bc8b68efb9f7e773ce5b51f6b</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Критерий полноты системы функций</title>
  <ns>0</ns>
  <id>46</id>
  <revision>
    <id>147</id>
    <timestamp>2021-12-10T12:35:10Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Классы функций  * &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt; {{---}} [[Функции сохраняющие ноль|функции, сохраняющие ноль]],  * &lt;ma...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="6667" xml:space="preserve">Классы функций 
* &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt; {{---}} [[Функции сохраняющие ноль|функции, сохраняющие ноль]], 
* &lt;math&gt;T_1&lt;/math&gt; {{---}} [[Функции сохраняющие единицу|функции, сохраняющие единицу]], 
* &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; {{---}} [[Самодвойственные функции|самодвойственные функции]], 
* &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; {{---}} [[Монотонные функции|монотонные функции]], 
* &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; {{---}} [[Линейные функции|линейные функции]].

{{Теорема
|author= Теорема Поста
|statement= Для полноты системы функций &lt;math&gt;\mathcal P\subseteq P_2&lt;/math&gt; необходимо и достаточно, чтобы &lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; не лежал полностью
ни в одном из классов &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;T_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;: 
&lt;math&gt;\mathcal P\not \subseteq T_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\not \subseteq T_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\not \subseteq S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\not \subseteq M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\not \subseteq L&lt;/math&gt;.

|proof= '''Необходимость.''' Если система функций &lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; лежит полностью
в одном из классов &lt;math&gt;R\in\{T_0, T_1, S, M, L\}&lt;/math&gt;, то, поскольку все эти классы
замкнуты и не совпадают с &lt;math&gt;P_2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[\mathcal P]\subseteq [R]\neq P_2&lt;/math&gt;. Тогда
система &lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; &amp;#8212; не является полной.

'''Достаточность.'''
Пусть &lt;math&gt;f_0, f_1, f_S, f_M, f_L\in\mathcal P&lt;/math&gt; такие функции, что
&lt;math&gt;f_0\notin T_0&lt;/math&gt;,  
&lt;math&gt;f_1\notin T_1&lt;/math&gt;,  
&lt;math&gt;f_S\notin S&lt;/math&gt;,  
&lt;math&gt;f_M\notin M&lt;/math&gt;,  
&lt;math&gt;f_L\notin L&lt;/math&gt; (некоторые из функций могут совпадать).
Проведем доказательство в несколько этапов.

1. Покажем, что с помощью &lt;math&gt;f_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_S&lt;/math&gt; можно получить 0 и 1.

1.1. Пусть &lt;math&gt;f_0(1,...,1)=1&lt;/math&gt;.
Пусть &lt;math&gt;\varphi(x) = f_0(x,...,x)&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;\varphi(0) = \varphi(1) = 1&lt;/math&gt;.
Значит &lt;math&gt;\varphi(x) = 1&lt;/math&gt; и, имея единицу, можно получить  вторую константу &lt;math&gt;0=f_1(1,...,1)&lt;/math&gt;.

1.2. Пусть теперь &lt;math&gt;f_0(1,...,1)=0&lt;/math&gt;.
Тогда &lt;math&gt;\varphi(x) = f_0(x,...,x) = \overline x&lt;/math&gt;.
Подставляя в &lt;math&gt;f_S&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\overline x&lt;/math&gt; по лемме о несамодвойственной функции
получаем константу &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; или &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; и с помощью &lt;math&gt;\overline x&lt;/math&gt; получаем вторую константу.

2. По лемме о немонотонной функции, подставляя константы в &lt;math&gt;f_M&lt;/math&gt; можно получить &lt;math&gt;\neg x&lt;/math&gt;.

3. Используя &lt;math&gt;f_L&lt;/math&gt;, константы и &lt;math&gt;\neg x&lt;/math&gt;, по лемме о нелинейной функции можно 
получить &lt;math&gt;x\wedge y&lt;/math&gt;.

Так как &lt;math&gt;\{\neg, \wedge\}&lt;/math&gt; &amp;#8212; полная система функций,  то и система &lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; &amp;#8212; полная.
}}

{{Пример
|content=Требуется проверить на полноту систему функций &lt;math&gt;\mathcal P = \{0, 1, x y,  x\oplus y\oplus z\}&lt;/math&gt;.

Рассмотрим принадлежность функций &lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; классам &lt;math&gt;T_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;T_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; и заполним таблицу.

&lt;math&gt;
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&amp; T_0 &amp; T_1 &amp; S &amp; M &amp; L\\
\hline
0 &amp; + &amp; - &amp; - &amp; + &amp; + \\
\hline
1 &amp; - &amp; + &amp; - &amp; + &amp; + \\
\hline
x y &amp; + &amp; + &amp; - &amp; + &amp; - \\
\hline
x\oplus y \oplus z &amp; + &amp; + &amp; + &amp; - &amp; + \\
\hline
\end{array}
&lt;/math&gt;

Рассмотрим, например, проверку функции &lt;math&gt;x\oplus y \oplus z&lt;/math&gt;:

a) &lt;math&gt;0\oplus 0 \oplus 0 = 0&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;x\oplus y \oplus z\in T_0&lt;/math&gt;;

b) &lt;math&gt;1\oplus 1 \oplus 1 = 1&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;x\oplus y \oplus z\in T_1&lt;/math&gt;;

c) &lt;math&gt;\overline{\overline x \oplus \overline y \oplus \overline z} =
1 \oplus (1\oplus x) \oplus (1\oplus y) \oplus (1 \oplus z) = 
x\oplus y \oplus z&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;x\oplus y \oplus z\in S&lt;/math&gt;;

d)  &lt;math&gt;(1,0,0)\prec (1,1,0)&lt;/math&gt;, но 
&lt;math&gt;1 = 1\oplus 0 \oplus 0  \gt  1\oplus 1 \oplus 0 = 0&lt;/math&gt;   
&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;x\oplus y \oplus z\notin M&lt;/math&gt;;

e) Очевидно, функция является линейной: &lt;math&gt;x\oplus y \oplus z\in L&lt;/math&gt;.

Теперь, заполнив и проанализировав таблицу, можно убедиться, что система функций
&lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; является полной, так как в каждом столбце, соответствующем одному 
из классов присутствует хотя бы один минус.

В то же время ни одно подмножество &lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; полной системой не является, поскольку,
если вычеркнуть в таблице хотя бы одну строку, появится столбец не имеющий минуса.
}}

{{Определение
|definition= Пусть &lt;math&gt;\mathfrak M&lt;/math&gt; &amp;#8212; замкнутый класс функций.
Пусть &lt;math&gt;\mathcal B\subseteq \mathfrak M&lt;/math&gt;.
&lt;math&gt;\mathcal B&lt;/math&gt; называется базисом класса &lt;math&gt;\mathfrak M&lt;/math&gt;, если 
# &lt;math&gt;[\mathcal B] = \mathfrak M&lt;/math&gt;;&lt;/li&gt;
# &lt;math&gt;\forall f\in \mathcal B  \Rightarrow  [\mathcal B\setminus \{f\}]\neq \mathfrak M&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
}}


{{Пример
|content= Система &lt;math&gt;\{0, 1, xy, x\oplus y\}&lt;/math&gt; полная, но базисом &lt;math&gt;P_2&lt;/math&gt; не является.
Базисом &lt;math&gt;P_2&lt;/math&gt; будет ее подсистема &lt;math&gt;\{1, xy, x\oplus y\}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&amp; T_0 &amp; T_1 &amp; S &amp; M &amp; L\\
\hline
0 &amp; + &amp; - &amp; - &amp; + &amp; + \\
\hline
1 &amp; - &amp; + &amp; - &amp; + &amp; + \\
\hline
x y &amp; + &amp; + &amp; - &amp; + &amp; - \\
\hline
x\oplus y &amp; + &amp; - &amp; - &amp; - &amp; + \\
\hline
\end{array}
&lt;/math&gt;
}}</text>
    <sha1>0152853226ebc87b2fb32556b0e2cc2837c460d7</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Эрмитовы формы</title>
  <ns>0</ns>
  <id>47</id>
  <revision>
    <id>148</id>
    <timestamp>2021-12-10T14:03:06Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов &lt;math&gt;...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="7258" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов &lt;math&gt;\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n &lt;/math&gt; и сопряженных переменных &lt;math&gt;\bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n &lt;/math&gt; вида &lt;math&gt;g(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n ) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha_{ij} \xi_i \bar {\xi}_j} }, \alpha_{ji} = \bar \alpha_{ij}.&lt;/math&gt;
}}

В матричной записи эрмитова форма имеет вид
&lt;math&gt;g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}}&lt;/math&gt;,
где &lt;math&gt;{\rm {\bf z}}^\ast = (\bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n)&lt;/math&gt;, причем матрица &lt;math&gt;{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast&lt;/math&gt;. 

Заметим, что все диагональные коэффициенты (когда &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;) у эрмитовой формы всегда являются вещественными числами. 

{{Определение
|definition=Матрицы, совпадающие со своими сопряженными матрицами, называются эрмитовыми.
}}

Будем предполагать, что если &lt;math&gt;{\rm {\bf z}} = {\rm {\bf Bu}}, \det {\rm {\bf B}} \ne 0&lt;/math&gt;, то сопряженные переменные преобразуются 
по формулам &lt;math&gt;{\rm {\bf \bar {z}}} = {\rm {\bf \bar {B}\bar {u}}}, \det {\rm {\bf \bar {B}}} \ne 0&lt;/math&gt;, следовательно, 
&lt;math&gt;{\rm {\bf z}}^\ast = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast &lt;/math&gt;. Поэтому эрмитова форма в результате невырожденного преобразования приводится к виду
&lt;math&gt;
h({\rm {\bf u}}) = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf ABu}} = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf Cu}}.
&lt;/math&gt;

Покажем, что матрица &lt;math&gt;\bf C&lt;/math&gt; является эрмитовой. С этой целью воспользуемся определением, получаем
&lt;math&gt;
{\rm {\bf C}}^\ast = ({\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}})^\ast = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf B}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}} = {\rm {\bf C}}.
&lt;/math&gt;

Обратим внимание на то, что для любого &lt;math&gt;{\rm {\bf z}}&lt;/math&gt; эрмитова форма принимает вещественные значения. Действительно, допустим, что &lt;math&gt;{\rm {\bf z}}&lt;/math&gt; произвольный столбец с комплексными элементами. Тогда, если &lt;math&gt;g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast &lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;\overline {g({\rm {\bf z}})} = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf z}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}} = g({\rm {\bf z}})&lt;/math&gt;, что и требовалось доказать.

Определитель эрмитовой матрицы также является вещественным числом, поскольку
&lt;math&gt;
\overline {\det {\rm {\bf A}}} = \det {\rm {\bf \bar {A}}} = \det {\rm {\bf A}}^\ast = \det {\rm {\bf A}}.
&lt;/math&gt;

{{Определение
|definition=
Говорят, что эрмитова форма имеет канонический вид, если ее матрица является диагональной, т. е.
&lt;math&gt;
g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n ){\rm {\bf z}} = \lambda_1 \xi_1 \bar \xi_1 + \lambda_2 \xi_2 \bar \xi_2 + \cdots + \lambda_n \xi_n \bar \xi_n = \lambda_1 \vert \xi_1 \vert ^2 + \lambda_2 \vert \xi_2 \vert ^2 + \cdots + \lambda_n \vert \xi_n \vert ^2,
&lt;/math&gt;
где &lt;math&gt;\lambda_i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt; вещественные числа.
&lt;/div&gt;
}}

Приведем без доказательства основные свойства эрмитовых форм, каждое из которых имеет соответствующий аналог среди свойств вещественных квадратичных форм.

{{Теорема
|statement=Эрмитова форма приводится к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования с комплексной матрицей.
}}
{{Теорема
|statement=Ранг эрмитовой формы совпадает с рангом ее матрицы и, в свою очередь, равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.
}}
{{Теорема
|statement=Для того чтобы эрмитова форма была положительно определена необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в ее каноническом виде были строго положительны.
}}
{{Теорема
|statement=Для того чтобы эрмитова форма с невырожденной матрицей приводилась к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры &lt;math&gt;\det {\rm {\bf A}}_i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;, были отличны от нуля. При этом коэффициенты канонического вида этой эрмитовой формы равны
&lt;math&gt;
\lambda_1 = \det {\rm {\bf A}}_1, \,\lambda_2 = \frac{\det {\rm {\bf A}}_2 }{\det {\rm {\bf A}}_1 }, ..., \lambda_n = \frac{\det {\rm {\bf A}}_n }{\det {\rm {\bf A}}_{n - 1} }.
&lt;/math&gt;
}}
{{Теорема
|statement=Эрмитова форма положительно определена тогда и только тогда, когда &lt;math&gt;\det {\rm {\bf A}}_i &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i = \overline {1,n}&lt;/math&gt;.
}}
{{Теорема
|statement=
Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде эрмитовой формы не зависит от выбора преобразования.
}}
{{Теорема
|statement=Все собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными.
}}
{{Теорема
|statement=Любая эрмитова форма с помощью унитарного преобразования приводится к каноническому виду, в котором коэффициенты совпадают с собственными значениями эрмитовой матрицы, а столбцы матрицы преобразования равны собственным векторам этой матрицы.
}}
{{Теорема
|statement=Две эрмитовы формы, одна из которых является положительно определенной, приводятся к каноническому виду одним и тем же преобразованием.
}}</text>
    <sha1>8afe32f039094c64e5043daaf81351fbb20396cf</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Теорема Безу</title>
  <ns>0</ns>
  <id>48</id>
  <revision>
    <id>149</id>
    <timestamp>2021-12-27T08:56:29Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Теорема |statement=  Для того, чтобы полином &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; делился на двучлен &lt;math&gt;x - c&lt;/math&gt;, необходи...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1018" xml:space="preserve">{{Теорема
|statement= 
Для того, чтобы полином &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; делился на двучлен &lt;math&gt;x - c&lt;/math&gt;, необходимо и достаточно, чтобы &lt;math&gt;f(c) = 0&lt;/math&gt;.
|proof=
''Необходимость''. Пусть &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; делится на &lt;math&gt;x - c&lt;/math&gt;, т.е. &lt;math&gt;f(x) = (x - c) \cdot h(x)&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f(c) = 0&lt;/math&gt;.

''Достаточность''. Пусть &lt;math&gt;f(c) = 0&lt;/math&gt;, тогда в равенстве &lt;math&gt;f(x) = (x - c) \cdot h(x) + r&lt;/math&gt; $\:$ будет $\:$ &lt;math&gt;r = f(c) = 0&lt;/math&gt;, т.е. &lt;math&gt;f(x) = (x - c) \cdot h(x)&lt;/math&gt;.
}}
{{Следствие
|statement=
Остаток от деления полинома &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; на двучлен &lt;math&gt;x - c&lt;/math&gt; равен &lt;math&gt;f(c)&lt;/math&gt;.
}}

== Литература ==
''Фадеев Д. К.'' Лекции по алгебре: Учебное пособие. 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. — 416 с. 58.</text>
    <sha1>5af83efe4d15c3cbfb1089adfcc3e774c6997a3b</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>155</id>
    <parentid>149</parentid>
    <timestamp>2021-12-31T11:47:09Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Литература */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1014" xml:space="preserve">{{Теорема
|statement= 
Для того, чтобы полином &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; делился на двучлен &lt;math&gt;x - c&lt;/math&gt;, необходимо и достаточно, чтобы &lt;math&gt;f(c) = 0&lt;/math&gt;.
|proof=
''Необходимость''. Пусть &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; делится на &lt;math&gt;x - c&lt;/math&gt;, т.е. &lt;math&gt;f(x) = (x - c) \cdot h(x)&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;f(c) = 0&lt;/math&gt;.

''Достаточность''. Пусть &lt;math&gt;f(c) = 0&lt;/math&gt;, тогда в равенстве &lt;math&gt;f(x) = (x - c) \cdot h(x) + r&lt;/math&gt; $\:$ будет $\:$ &lt;math&gt;r = f(c) = 0&lt;/math&gt;, т.е. &lt;math&gt;f(x) = (x - c) \cdot h(x)&lt;/math&gt;.
}}
{{Следствие
|statement=
Остаток от деления полинома &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; на двучлен &lt;math&gt;x - c&lt;/math&gt; равен &lt;math&gt;f(c)&lt;/math&gt;.
}}

== Литература ==
''Фадеев Д. К.'' Лекции по алгебре: Учебное пособие. 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. — 416 с.</text>
    <sha1>2cb619f49858a2529aa6cae74ad5ade03dbd3a4c</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Разложение полинома на множители</title>
  <ns>0</ns>
  <id>49</id>
  <revision>
    <id>150</id>
    <timestamp>2021-12-27T10:32:43Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Теорема |id=pol |statement= В алгебраически замкнутом поле любой полином &lt;math&gt;a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n &lt;...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2990" xml:space="preserve">{{Теорема
|id=pol
|statement=
В алгебраически замкнутом поле любой полином &lt;math&gt;a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a_0 \neq 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n \geqslant 1&lt;/math&gt;, имеет разложение на линейные множители вида &lt;math&gt;a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n)&lt;/math&gt;, и такое разложение единственное.
|proof=
Оба утверждения будут доказаны с помощью метода математической индукции по степени полинома.

''Доказательство возможности разложения''. Полином первой степени &lt;math&gt;a_0x + a_1&lt;/math&gt; при &lt;math&gt;a_0 \neq 0&lt;/math&gt; в любом поле имеет корень &lt;math&gt;c = - \frac{a_1}{a_0}&lt;/math&gt;, и &lt;math&gt; a_0x + a_1 = a_0(x - c) &lt;/math&gt;.
Пусть теперь &lt;math&gt;n &gt; 1&lt;/math&gt;. В силу алгебраической замкнутости полином &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; имеет по крайней мере один корень &lt;math&gt;c_1&lt;/math&gt; и, следовательно, &lt;math&gt;f(x) = (x - c_1) \cdot f_1(x)&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;f_1(x) = a_0x^{n-1} + b_1x^{n - 2} + \dots + b_{n-1}&lt;/math&gt; {{---}} полином степени &lt;math&gt;n - 1&lt;/math&gt;. В силу индуктивного предположения &lt;math&gt;f_1(x) = a_0(x - c_2) \dots (x - c_n)&lt;/math&gt;, откуда &lt;math&gt;f(x) = a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n)&lt;/math&gt;.


''Доказательство единственности разложения''. При &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; если &lt;math&gt;a_0x + a_1 = a_0(x - c) = a_0(x - c^\prime)&lt;/math&gt;, то &lt;math&gt;a_0(c - c^\prime) = 0&lt;/math&gt;, откуда &lt;math&gt;c = c^\prime&lt;/math&gt;, т.к. &lt;math&gt;a_0 \neq 0&lt;/math&gt;.

Пусть теперь &lt;math&gt;n &gt; 1&lt;/math&gt; и есть два разложения &lt;math&gt;f(x) = a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n) = a_0(x - c_1^\prime)(x - c_2^\prime) \dots (x - c_n^\prime)&lt;/math&gt;. $\\$ Положим &lt;math&gt; x = c_1&lt;/math&gt;, получим

&lt;math&gt;f(c_1) = 0 = a_0(c_1 - c_1^\prime)(c_1 - c_2^\prime) \dots (c_1 - c_n^\prime)&lt;/math&gt;. Т.к. &lt;math&gt;a_0 \neq 0&lt;/math&gt;, то без потери общности можно считать, что &lt;math&gt;c_1 = c_1^\prime&lt;/math&gt;

и &lt;math&gt;a_0\boldsymbol{(x - c_1)}(x - c_2) \dots (x - c_n) = a_0\boldsymbol{(x - c_1)}(x - c_2^\prime) \dots (x - c_n^\prime)&lt;/math&gt;.

Т.к. кольцо полиномов над полем {{---}} область целостности, то можно сократить обе части равенства на &lt;math&gt;x - c_1&lt;/math&gt;, получив &lt;math&gt;a_0(x - c_2)(x - c_3) \dots (x - c_n) = a_0(x - c_2^\prime)(x - c_3^\prime) \dots (x - c_n^\prime)&lt;/math&gt;. В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают. Следовательно совпадают и исходные разложения &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;.
}}</text>
    <sha1>0571c6c09e3c2a505a17a724ed825c533b11fbe8</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Множества</title>
  <ns>0</ns>
  <id>50</id>
  <revision>
    <id>151</id>
    <timestamp>2021-12-27T13:40:32Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение  |definition= Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслима...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5875" xml:space="preserve">{{Определение 
|definition=
Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслимая как единое целое.
}}
{{Определение 
|definition=
Пустое множество {{---}} множество, не содержащее элементов. Обозначается &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt;.
}}
{{Определение 
|definition=
Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
}}
{{Определение 
|definition=
Два множества называются равномощными, каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
}}
{{Определение 
|definition=
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, называют ''счетным множеством''.
}}
{{Определение
|definition=
Мощность множества {{---}} количество элементов множества. Обозначают &lt;math&gt;\vert A \vert&lt;/math&gt;. Используется для конечных множеств.
}}

== Подмножества ==
{{Определение 
|definition=
Обозначают &lt;math&gt;A \subseteq B&lt;/math&gt; и говорят, что множество &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является подмножеством множества &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, если каждый элемент множества &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является элементом множества &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.
}}
Если также известно, что &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;, говорят, что &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является собственным (или
строгим) подмножеством множества &lt;math&gt;&lt;/math&gt; и пишут &lt;math&gt;A \subset B&lt;/math&gt;.
{{Пример
|content=
1) &lt;math&gt;\{ 1,\ 3 \} \subset \{ 3,\ 5,\ 1,\ 4 \}&lt;/math&gt; &lt;br /&gt;
2) &lt;math&gt;\{ k,\ l,\ j \} \subseteq \{ l,\ j,\ k \}  &lt;/math&gt;
}}
{{Определение 
|definition=
Множество всех подмножеств множества &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; будем обозначать &lt;math&gt;2^A&lt;/math&gt;. Мощность
множества всех подмножеств множества с &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементами равна &lt;math&gt;2^n:\ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|content=
Пусть &lt;math&gt;A = \{ a,\ b,\ c \}&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;2^A = \{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{b,\ c\},\ \{A\} \}&lt;/math&gt;.
Видно, что в этом множестве &lt;math&gt;2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8&lt;/math&gt; элементов.
}}
== Операции над множествами ==
=== Объединение множеств ===
&lt;math&gt;A \cup B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; или &lt;math&gt;\  x \in B \}&lt;/math&gt;
=== Пересечение множеств ===
&lt;math&gt;A \cap B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \in B \}&lt;/math&gt;
=== Дополнение множества ===
&lt;math&gt;\overline{A} = \{ x \mid x \in U\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \notin A \}&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; {{---}} универсальное множество.
=== Разность множеств ===
&lt;math&gt;A\  \backslash\  B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \notin B \}&lt;/math&gt;
=== Симметрическая разность множеств ===
&lt;math&gt;A\  \dot -  \  B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )&lt;/math&gt;
{{Утверждение
|id=mnoj
|about=Основные тождества алгебры логики
|statement=
Пусть &lt;math&gt;A,\ B,\ C,\&lt;/math&gt; произвольные подмножества множества &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, тогда выполняются следующие тождества: 

&lt;math&gt;1)\ &lt;/math&gt; ''Коммутативность:'' &lt;math&gt;\ a)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup B = B \cup A ;\quad&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b)\ A \cap B = B \cap A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2)\ &lt;/math&gt; ''Ассоциативность:'' &lt;math&gt;\  a)\ A  \cup \left ( B \cup C \right ) = \left ( A  \cup B \right ) \cup C ; \quad&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;b)\ A  \cap \left ( B \cap C \right ) = \left (A  \cap B \right ) \cap C &lt;/math&gt;; 

&lt;math&gt;3)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;a)&lt;/math&gt; ''Дистрибутивность'' &lt;math&gt;\cup&lt;/math&gt; ''относительно'' &lt;math&gt;\cap: \ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \left ( B \cap C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup C \right )&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\quad\ \  b)&lt;/math&gt; ''Дистрибутивность'' &lt;math&gt;\cap&lt;/math&gt; ''относительно'' &lt;math&gt;\cup: \ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A \cap C \right )&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \varnothing = A&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap \varnothing = \varnothing&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;5)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup U = U&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\ A \cap U = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;6)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \overline{A} = U&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap \overline{A} = \varnothing&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;7)\ &lt;/math&gt; ''Идемпотентность:'' &lt;math&gt;\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;8)\ &lt;/math&gt; ''Законы де Моргана:''  &lt;math&gt;A \cup A = A&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap A = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;9)\ &lt;/math&gt; ''Законы поглощения'' &lt;math&gt;A \cap \left ( A \cup C \right ) = A;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\quad A \cup \left ( B \cap C \right ) = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;10)\ &lt;/math&gt; ''Инволютивный закон'' &lt;math&gt;\overline{\overline{A}} = A&lt;/math&gt;
Доказательства тождеств следуют из определения операций над множествами.
}}</text>
    <sha1>1e3a7c74526c2d3aee302383b5c33d1d3cb4caea</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>154</id>
    <parentid>151</parentid>
    <timestamp>2021-12-28T07:31:43Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5940" xml:space="preserve">== Определения множеств ==
{{Определение 
|definition=
Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслимая как единое целое.
}}
{{Определение 
|definition=
Пустое множество {{---}} множество, не содержащее элементов. Обозначается &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt;.
}}
{{Определение 
|definition=
Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
}}
{{Определение 
|definition=
Два множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
}}
{{Определение 
|definition=
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, называют ''счетным множеством''.
}}
{{Определение
|definition=
Мощность множества {{---}} количество элементов множества. Обозначают &lt;math&gt;\vert A \vert&lt;/math&gt;. Используется для конечных множеств.
}}

== Подмножества ==
{{Определение 
|definition=
Обозначают &lt;math&gt;A \subseteq B&lt;/math&gt; и говорят, что множество &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является подмножеством множества &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, если каждый элемент множества &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является элементом множества &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.
}}
Если также известно, что &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;, говорят, что &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является собственным (или
строгим) подмножеством множества &lt;math&gt;&lt;/math&gt; и пишут &lt;math&gt;A \subset B&lt;/math&gt;.
{{Пример
|content=
1) &lt;math&gt;\{ 1,\ 3 \} \subset \{ 3,\ 5,\ 1,\ 4 \}&lt;/math&gt; &lt;br /&gt;
2) &lt;math&gt;\{ k,\ l,\ j \} \subseteq \{ l,\ j,\ k \}  &lt;/math&gt;
}}
{{Определение 
|definition=
Множество всех подмножеств множества &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; будем обозначать &lt;math&gt;2^A&lt;/math&gt;. Мощность
множества всех подмножеств множества с &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементами равна &lt;math&gt;2^n\colon \ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|content=
Пусть &lt;math&gt;A = \{ a,\ b,\ c \}&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;2^A = \{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{b,\ c\},\ \{A\} \}&lt;/math&gt;.
Видно, что в этом множестве &lt;math&gt;2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8&lt;/math&gt; элементов.
}}
== Операции над множествами ==
=== Объединение множеств ===
&lt;math&gt;A \cup B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; или &lt;math&gt;\  x \in B \}&lt;/math&gt;
=== Пересечение множеств ===
&lt;math&gt;A \cap B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \in B \}&lt;/math&gt;
=== Дополнение множества ===
&lt;math&gt;\overline{A} = \{ x \mid x \in U\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \notin A \}&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; {{---}} универсальное множество.
=== Разность множеств ===
&lt;math&gt;A\  \backslash\  B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \notin B \}&lt;/math&gt;
=== Симметрическая разность множеств ===
&lt;math&gt;A\  \dot -  \  B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )&lt;/math&gt;
{{Утверждение
|id=mnoj
|about=Основные тождества алгебры множеств
|statement=
Пусть &lt;math&gt;A,\ B,\ C,\&lt;/math&gt; произвольные подмножества множества &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, тогда выполняются следующие тождества: 

&lt;math&gt;1)\ &lt;/math&gt; ''Коммутативность:'' &lt;math&gt;\ a)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup B = B \cup A ;\quad&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b)\ A \cap B = B \cap A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2)\ &lt;/math&gt; ''Ассоциативность:'' &lt;math&gt;\  a)\ A  \cup \left ( B \cup C \right ) = \left ( A  \cup B \right ) \cup C ; \quad&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;b)\ A  \cap \left ( B \cap C \right ) = \left (A  \cap B \right ) \cap C &lt;/math&gt;; 

&lt;math&gt;3)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;a)&lt;/math&gt; ''Дистрибутивность'' &lt;math&gt;\cup&lt;/math&gt; ''относительно'' &lt;math&gt;\cap: \ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \left ( B \cap C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup C \right )&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\quad\ \  b)&lt;/math&gt; ''Дистрибутивность'' &lt;math&gt;\cap&lt;/math&gt; ''относительно'' &lt;math&gt;\cup: \ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A \cap C \right )&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \varnothing = A&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap \varnothing = \varnothing&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;5)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup U = U&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\ A \cap U = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;6)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \overline{A} = U&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap \overline{A} = \varnothing&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;7)\ &lt;/math&gt; ''Законы де Моргана:'' &lt;math&gt;\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;8)\ &lt;/math&gt; ''Идемпотентность:''  &lt;math&gt;A \cup A = A&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap A = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;9)\ &lt;/math&gt; ''Законы поглощения'' &lt;math&gt;A \cap \left ( A \cup B \right ) = A;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\quad A \cup \left ( A \cap B \right ) = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;10)\ &lt;/math&gt; ''Инволютивный закон'' &lt;math&gt;\overline{\overline{A}} = A&lt;/math&gt;
Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
}}</text>
    <sha1>27ec09dbfd99ad7d4e758bc2e8c0ad08a4308e0c</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>156</id>
    <parentid>154</parentid>
    <timestamp>2021-12-31T11:51:27Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Определения */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5923" xml:space="preserve">== Определения ==
{{Определение 
|definition=
Множество {{---}} любая совокупность элементов одной природы, мыслимая как единое целое.
}}
{{Определение 
|definition=
Пустое множество {{---}} множество, не содержащее элементов. Обозначается &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt;.
}}
{{Определение 
|definition=
Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
}}
{{Определение 
|definition=
Два множества называются равномощными, если каждому элементу одного множества взаимно-однозначно сопоставляется один и только один элемент другого.
}}
{{Определение 
|definition=
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, называют ''счетным множеством''.
}}
{{Определение
|definition=
Мощность множества {{---}} количество элементов множества. Обозначают &lt;math&gt;\vert A \vert&lt;/math&gt;. Используется для конечных множеств.
}}

== Подмножества ==
{{Определение 
|definition=
Обозначают &lt;math&gt;A \subseteq B&lt;/math&gt; и говорят, что множество &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является подмножеством множества &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, если каждый элемент множества &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является элементом множества &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.
}}
Если также известно, что &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;, говорят, что &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; является собственным (или
строгим) подмножеством множества &lt;math&gt;&lt;/math&gt; и пишут &lt;math&gt;A \subset B&lt;/math&gt;.
{{Пример
|content=
1) &lt;math&gt;\{ 1,\ 3 \} \subset \{ 3,\ 5,\ 1,\ 4 \}&lt;/math&gt; &lt;br /&gt;
2) &lt;math&gt;\{ k,\ l,\ j \} \subseteq \{ l,\ j,\ k \}  &lt;/math&gt;
}}
{{Определение 
|definition=
Множество всех подмножеств множества &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; будем обозначать &lt;math&gt;2^A&lt;/math&gt;. Мощность
множества всех подмножеств множества с &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; элементами равна &lt;math&gt;2^n\colon \ \vert 2^A \vert = 2^{\vert A \vert}&lt;/math&gt;.
}}
{{Пример
|content=
Пусть &lt;math&gt;A = \{ a,\ b,\ c \}&lt;/math&gt;. Тогда &lt;math&gt;2^A = \{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{b,\ c\},\ \{A\} \}&lt;/math&gt;.
Видно, что в этом множестве &lt;math&gt;2^{\vert A \vert} = 2^3 = 8&lt;/math&gt; элементов.
}}
== Операции над множествами ==
=== Объединение множеств ===
&lt;math&gt;A \cup B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; или &lt;math&gt;\  x \in B \}&lt;/math&gt;
=== Пересечение множеств ===
&lt;math&gt;A \cap B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \in B \}&lt;/math&gt;
=== Дополнение множества ===
&lt;math&gt;\overline{A} = \{ x \mid x \in U\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \notin A \}&lt;/math&gt;, где &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; {{---}} универсальное множество.
=== Разность множеств ===
&lt;math&gt;A\  \backslash\  B = \{ x \mid x \in A\ &lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\  x \notin B \}&lt;/math&gt;
=== Симметрическая разность множеств ===
&lt;math&gt;A\  \dot -  \  B = \left ( A\ \backslash\ B \right ) \cup \left ( B\ \backslash\ A \right )&lt;/math&gt;
{{Утверждение
|id=mnoj
|about=Основные тождества алгебры множеств
|statement=
Пусть &lt;math&gt;A,\ B,\ C,\&lt;/math&gt; произвольные подмножества множества &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, тогда выполняются следующие тождества: 

&lt;math&gt;1)\ &lt;/math&gt; ''Коммутативность:'' &lt;math&gt;\ a)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup B = B \cup A ;\quad&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b)\ A \cap B = B \cap A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2)\ &lt;/math&gt; ''Ассоциативность:'' &lt;math&gt;\  a)\ A  \cup \left ( B \cup C \right ) = \left ( A  \cup B \right ) \cup C ; \quad&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;b)\ A  \cap \left ( B \cap C \right ) = \left (A  \cap B \right ) \cap C &lt;/math&gt;; 

&lt;math&gt;3)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;a)&lt;/math&gt; ''Дистрибутивность'' &lt;math&gt;\cup&lt;/math&gt; ''относительно'' &lt;math&gt;\cap: \ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \left ( B \cap C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup C \right )&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\quad\ \  b)&lt;/math&gt; ''Дистрибутивность'' &lt;math&gt;\cap&lt;/math&gt; ''относительно'' &lt;math&gt;\cup: \ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A \cap C \right )&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \varnothing = A&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap \varnothing = \varnothing&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;5)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup U = U&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\ A \cap U = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;6)\ &lt;/math&gt; &lt;math&gt;A \cup \overline{A} = U&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap \overline{A} = \varnothing&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;7)\ &lt;/math&gt; ''Законы де Моргана:'' &lt;math&gt;\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;8)\ &lt;/math&gt; ''Идемпотентность:''  &lt;math&gt;A \cup A = A&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad A \cap A = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;9)\ &lt;/math&gt; ''Законы поглощения'' &lt;math&gt;A \cap \left ( A \cup B \right ) = A;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\quad A \cup \left ( A \cap B \right ) = A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;10)\ &lt;/math&gt; ''Инволютивный закон'' &lt;math&gt;\overline{\overline{A}} = A&lt;/math&gt;
Доказательства тождеств следуют из определений операций над множествами.
}}</text>
    <sha1>d428d7d9d7871146f48368b60e0ce6303555999f</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Обсуждение участника:StudentL</title>
  <ns>3</ns>
  <id>51</id>
  <revision>
    <id>152</id>
    <timestamp>2021-12-27T22:03:12Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «На странице [[Множества]] ошибки в "Утверждение (Основные тождества алгебры логики)": * в на...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="553" xml:space="preserve">На странице [[Множества]] ошибки в "Утверждение (Основные тождества алгебры логики)":
* в названии следует убрать "(Основные тождества алгебры логики)" поскольку здесь разговор про множества, а не про алгебру логики.
* перепутаны Идемпотентность и Законы де Моргана;
* Законы поглощения тоже надо проверить.</text>
    <sha1>a34af6f06bad41741a06d22b1c169ae77a69d633</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>157</id>
    <parentid>152</parentid>
    <timestamp>2022-01-03T11:36:10Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Полностью удалено содержимое страницы</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="0" xml:space="preserve"></text>
    <sha1>da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Обсуждение:Множества</title>
  <ns>1</ns>
  <id>52</id>
  <revision>
    <id>153</id>
    <timestamp>2021-12-27T22:13:17Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «* В предложении определения равномощных множеств, видимо, пропущено слово после запятой....»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1409" xml:space="preserve">* В предложении определения равномощных множеств, видимо, пропущено слово после запятой. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* В названии Утверждения следует убрать "(Основные тождества алгебры логики)" поскольку здесь разговор про множества, а не про алгебру логики. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* Перепутаны Идемпотентность и Законы де Моргана. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* Законы поглощения тоже надо проверить. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)
* Добавить источник информации. --[[Участник:St001214|St001214]] ([[Обсуждение участника:St001214|обсуждение]]) 01:12, 28 декабря 2021 (MSK)</text>
    <sha1>7b304910a1f834aaba2e2f0402fed505aabb8b89</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20211106171832|109">
  <title>Алгоритмы и структуры данных</title>
  <ns>0</ns>
  <id>53</id>
  <revision>
    <id>158</id>
    <timestamp>2022-02-19T12:27:42Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>СВ</username>
      <id>1</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «== Простые структуры данных == * [[Динамический массив]] * [[Список]]  == Типы данных == * [[Стек]] *...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="730" xml:space="preserve">== Простые структуры данных ==
* [[Динамический массив]]
* [[Список]]

== Типы данных ==
* [[Стек]]
* [[Очередь]]
* [[Словарь]]

== Структуры данных для поиска ==
* [[Двоичное дерево поиска]]
* [[АВЛ-дерево]]
* [[Красно-черное дерево]]
* [[АА-дерево]]
* [[B-дерево]]
* [[B+-дерево]]

== Очереди с приоритетом ==
* [[Двоичная куча]]
* [[Биномиальная куча]]
* [[Фибоначчиева куча]]

== Система непересекающихся множеств ==
* [[Disjoint Sets]]
* [[Union-Find Disjoint Sets]]</text>
    <sha1>0d0dd5324983b15111b42e0dcfd31b5cc4cc95ea</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Определитель произведения двух матриц</title>
  <ns>0</ns>
  <id>54</id>
  <revision>
    <id>159</id>
    <timestamp>2022-07-06T14:24:22Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.   Введем вспомогательную кв...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5845" xml:space="preserve">Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. 

Введем вспомогательную квадратную матрицу
$G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.$
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$). 

В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1},  a_{j},  {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n ].$

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ &amp;#8212;  произвольное число, а $Е$ &amp;#8212;  единичная матрица. 
Тогда $(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].$ 

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
$AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1},  a^{i},  {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ].$,
и тогда 
$A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],$ 
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

$$
U_R =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 &amp;  \gamma_{12}  &amp; ... &amp; \gamma_{1,n-1}  &amp; \gamma_{1n}  \\ 
0 &amp;  1 &amp; ... &amp; \gamma_{2,n-1} &amp; \gamma_{2n} \\ 
\vdots  &amp; \vdots  &amp; \vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots  \\ 
0 &amp;  0 &amp; ... &amp; 1 &amp; \gamma_{n-1,n} \\ 
0 &amp;  0 &amp; ... &amp; 0 &amp; 1 
\end{array}\right)
$$ 


{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

$$
U_L =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 &amp; 0  &amp; ... &amp; 0 &amp; 0 \\ 
\gamma_{21}  &amp;  1 &amp; ... &amp; 0 &amp; 0 \\ 
\vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots \\ 
\gamma_{n-1,1} &amp;  \gamma_{n-1,2}  &amp; ... &amp; 1 &amp; 0 \\ 
\gamma_{n1}  &amp;   \gamma_{n2} &amp;  ... &amp; \gamma_{n,n-1}  &amp; 1
\end{array}\right).
$$ 

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$ 
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу
$$C = \left(\begin{array}{c|c}  A &amp; {\bf 0} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right) = [2n\times 2n].$$ 

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$$U_{R} =\left(\begin{array}{c|c} {E} &amp; {A} \\  \hline {{\bf 0}} &amp; {E} \end{array}\right).$$ 

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
$$U_{R} C=\left(\begin{array}{c|c} {E} &amp; {A} \\  \hline {{\bf 0}} &amp; {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} {A} &amp; {{\bf 0}} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} &amp; {AB} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right).$$ 

Поскольку
$$\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} &amp; {AB} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} &amp; {{\bf 0}} \\  \hline {B} &amp; {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} &amp; {{\bf 0}} \\  \hline {B} &amp; {E} \end{array}\right)=$$ 
$$=\det (AB)\det E=\det (AB),$$ 
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}</text>
    <sha1>060f092f0cfd25b6f42c80501a5928cc74e38e24</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>160</id>
    <parentid>159</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T14:29:37Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5974" xml:space="preserve">Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. 

Введем вспомогательную квадратную матрицу
\begin{equation}
G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.
\end{equation}
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$). 

В соответствии с формулой умножения матриц: $G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1},  a_{j},  {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].$

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ &amp;#8212;  произвольное число, а $Е$ &amp;#8212;  единичная матрица. 
Тогда $(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].$ 

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
$AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1},  a^{i},  {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ].$,
и тогда 
$A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],$ 
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_R =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 &amp;  \gamma_{12}  &amp; ... &amp; \gamma_{1,n-1}  &amp; \gamma_{1n}  \\ 
0 &amp;  1 &amp; ... &amp; \gamma_{2,n-1} &amp; \gamma_{2n} \\ 
\vdots  &amp; \vdots  &amp; \vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots  \\ 
0 &amp;  0 &amp; ... &amp; 1 &amp; \gamma_{n-1,n} \\ 
0 &amp;  0 &amp; ... &amp; 0 &amp; 1 
\end{array}\right)
\end{equation}

{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_L =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 &amp; 0  &amp; ... &amp; 0 &amp; 0 \\ 
\gamma_{21}  &amp;  1 &amp; ... &amp; 0 &amp; 0 \\ 
\vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots \\ 
\gamma_{n-1,1} &amp;  \gamma_{n-1,2}  &amp; ... &amp; 1 &amp; 0 \\ 
\gamma_{n1}  &amp;   \gamma_{n2} &amp;  ... &amp; \gamma_{n,n-1}  &amp; 1
\end{array}\right).
\end{equation}

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$ 
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу
$C = \left(\begin{array}{c|c}  A &amp; {\bf 0} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right) = [2n\times 2n].$ 

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$U_{R} =\left(\begin{array}{c|c} {E} &amp; {A} \\  \hline {{\bf 0}} &amp; {E} \end{array}\right).$ 

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
\begin{equation}
U_{R} C=\left(\begin{array}{c|c} {E} &amp; {A} \\  \hline {{\bf 0}} &amp; {E} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} {A} &amp; {{\bf 0}} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} &amp; {AB} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right).
\end{equation} 

Поскольку
\begin{equation}
\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{c|c} {{\bf 0}} &amp; {AB} \\  \hline {-E} &amp; {B} \end{array}\right)=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} &amp; {{\bf 0}} \\  \hline {B} &amp; {-E} \end{array}\right)=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{c|c} {AB} &amp; {{\bf 0}} \\  \hline {B} &amp; {E} \end{array}\right)=$$ 
$$=\det (AB)\det E=\det (AB),
\end{equation}
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}</text>
    <sha1>4e297806a9a4aba6acdce7ecc89b420445d2ea7b</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>161</id>
    <parentid>160</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T14:41:38Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="6025" xml:space="preserve">Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. 

Введем вспомогательную квадратную матрицу
\begin{equation}
G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.
\end{equation}
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$). 

В соответствии с формулой умножения матриц: 
\begin{equation}
G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1},  a_{j},  {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].
\end{equation}

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ &amp;#8212;  произвольное число, а $Е$ &amp;#8212;  единичная матрица. 
Тогда 
\begin{equation}
(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].
\end{equation} 

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
\begin{equation}
AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1},  a^{i},  {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ],
\end{equation}
и тогда 
\begin{equation}
A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],
\end{equation} 
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_R =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 &amp;  \gamma_{12}  &amp; ... &amp; \gamma_{1,n-1}  &amp; \gamma_{1n}  \\ 
0 &amp;  1 &amp; ... &amp; \gamma_{2,n-1} &amp; \gamma_{2n} \\ 
\vdots  &amp; \vdots  &amp; \vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots  \\ 
0 &amp;  0 &amp; ... &amp; 1 &amp; \gamma_{n-1,n} \\ 
0 &amp;  0 &amp; ... &amp; 0 &amp; 1 
\end{array}\right)
\end{equation}

{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_L =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 &amp; 0  &amp; ... &amp; 0 &amp; 0 \\ 
\gamma_{21}  &amp;  1 &amp; ... &amp; 0 &amp; 0 \\ 
\vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots  &amp; \vdots &amp; \vdots \\ 
\gamma_{n-1,1} &amp;  \gamma_{n-1,2}  &amp; ... &amp; 1 &amp; 0 \\ 
\gamma_{n1}  &amp;   \gamma_{n2} &amp;  ... &amp; \gamma_{n,n-1}  &amp; 1
\end{array}\right).
\end{equation}

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$ 
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу $[2n\times 2n]$: 
$
C = \left(\begin{array}{cc} {A} &amp; {\bf 0} \\  {-E} &amp; {B} \end{array}\right).
$

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$U_{R} =\left(\begin{array}{cc} {E} &amp; {A} \\ {\bf 0} &amp; {E} \end{array}\right).$ 

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
\begin{equation}
U_{R} C = \left(
\begin{array}{cc}{E} &amp; {A} \\  {\bf 0} &amp; {E} 
\end{array} \right)
\left( 
\begin{array}{cc} {A} &amp; {\bf 0} \\ {-E} &amp; {B} 
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc} {\bf 0} &amp; {AB} \\ {-E} &amp; {B} 
\end{array}
\right).
\end{equation} 

Поскольку
\begin{equation}
\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{cc} {\bf 0} &amp; {AB} \\  {-E} &amp; {B} \end{array}\right)
=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} &amp; {\bf 0} \\ {B} &amp; {-E} \end{array}\right)
=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} &amp; {\bf 0} \\ {B} &amp; {E} \end{array}\right)
=\det (AB)\det E=\det (AB),
\end{equation}
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}</text>
    <sha1>d30bb14584cc490123dac5be74912e5bba91f37e</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Определители второго и третьего порядка</title>
  <ns>0</ns>
  <id>39</id>
  <revision>
    <id>162</id>
    <parentid>136</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T14:50:03Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8163" xml:space="preserve">Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2, 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ &amp;#8212;  заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где 
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе &amp;#8212;  на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$ 

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }. 
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

&lt;p&gt;Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или 
$\left| \begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right|$.
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|$. 
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
&lt;/p&gt;

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\ 
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3. 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right), 
x = \left(\begin{array}{c} 
\xi_{1} \\  \xi_2 \\ \xi_3 
\end{array}\right), 
b = \left(\begin{array}{c} 
\beta_{1}  \\ \beta_2 \\ \beta_3 
\end{array}\right).
\end{equation} 

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье &amp;#8212;  на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1} 
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation} 

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}  
\end{equation} 
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation} 
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|.
\end{equation} 

Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\beta_{1} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\beta_2 &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\beta_3 &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \beta_{1} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \beta_2 &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \beta_3 &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \beta_{1} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \beta_2 \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \beta_3 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}</text>
    <sha1>07a38a346e6f9e7bef9c1a39df4e528d9fc1a5cc</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>163</id>
    <parentid>162</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T14:54:31Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Содержимое страницы заменено на «{{Определение |definition= Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="218" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}</text>
    <sha1>a66758947d7af39a3ad9d251cf9bf998e6b8a3f5</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>164</id>
    <parentid>163</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T14:54:49Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8163" xml:space="preserve">Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2, 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ &amp;#8212;  заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где 
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе &amp;#8212;  на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$ 

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }. 
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

&lt;p&gt;Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или 
$\left| \begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right|$.
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|$. 
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
&lt;/p&gt;

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\ 
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3. 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right), 
x = \left(\begin{array}{c} 
\xi_{1} \\  \xi_2 \\ \xi_3 
\end{array}\right), 
b = \left(\begin{array}{c} 
\beta_{1}  \\ \beta_2 \\ \beta_3 
\end{array}\right).
\end{equation} 

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье &amp;#8212;  на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1} 
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation} 

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}  
\end{equation} 
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation} 
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|.
\end{equation} 

Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\beta_{1} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\beta_2 &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\beta_3 &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \beta_{1} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \beta_2 &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \beta_3 &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \beta_{1} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \beta_2 \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \beta_3 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}</text>
    <sha1>07a38a346e6f9e7bef9c1a39df4e528d9fc1a5cc</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Алгебра и геометрия</title>
  <ns>0</ns>
  <id>2</id>
  <revision>
    <id>165</id>
    <parentid>124</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T15:34:01Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>/* Матрицы и определители */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8902" xml:space="preserve">
== Полиномы и их корни ==
* [[Комплексные числа]]
* [[Теорема Безу]]
* [[Схема Горнера]]
* [[Разложение полинома на множители]]
* [[Наибольший общий делитель полиномов]]
* [[Полиномы с вещественными коэффициентами]]
* [[Рациональные дроби]]

== Матрицы и определители ==
* [[Матрицы и операции с ними]]
* [[Определители второго порядка]]
* [[Определители третьего порядка]]
* [[Перестановки]]
* [[Определители порядка n]]
* [[Алгебраические дополнения и миноры]]
* [[Определитель ступенчатой матрицы]]
* [[Блочные матрицы]]
* [[Определитель произведения двух матриц]]
* [[Обратная матрица]]
* [[Ортогональные матрицы]]
* [[Характеристический полином матрицы]]

== Линейные пространства ==
*[[Линейные операции над векторами]]
* [[Линеал]]
* [[Линейная зависимость и независимость векторов]]
* [[Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве]]
* [[Базис и размерность линеала]]
* [[Ранг матрицы]]
* [[Изоморфизм линеалов]]
* [[Аффинные пространства]]
* [[Аффинные системы координатa]]
* [[Геометрический смысл аффинных координат]]
* [[Декартовые прямоугольные системы координат]]
* [[Полярная система координат]]
* [[Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Сферические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Деление вектора в заданном отношении]]
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Евклидовы, нормированные и метрические пространства]]
* [[Векторное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение трех векторов]]
* [[Двойное векторное произведение]]
== Системы линейных уравнений ==
* [[Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений]]
* [[Системы линейных уравнений с квадратной матрицей]]
* [[Структура общего решения однородной системы линейных уравнений]]
* [[Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений]]
* [[Метод Гаусса]]
* [[Геометрический смысл систем линейных уравнений]]
* [[Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости]]
* [[Геометрический смысл систем линейных неравенств]]
* [[Нормированное уравнение плоскости (прямой)]]
* [[Пучки плоскостей (прямых на плоскости)]]
* [[Взаимное расположение прямых и плоскостей]]

== Квадратичные формы ==
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду]]
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования]]
* [[Положительно определенные квадратичные формы]]
* [[Закон инерции]]
* [[Собственные значения и собственные векторы матрицы]]
* [[Подобные матрицы]]
* [[Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду]]
* [[Унитарные матрицы]]
* [[Эрмитовы формы]]

== Преобразование координат ==
* [[Преобразование декартовых прямоугольных координат]]
* [[Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве]]
* [[Преобразование аффинных координат]]
* [[Линии и поверхности второго порядка]]
* [[Алгебраические линии и поверхности]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах]]
* [[Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду]]
* [[Классификация линий второго порядка]]
* [[Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат]]
* [[Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов]]
* [[Поверхности вращения]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Гиперболоиды]]
* [[Параболоиды]]
* [[Цилиндрические поверхности]]
* [[Конические поверхности]]

== Элементы общей теории кривых и поверхностей ==
* [[Векторная функция скалярного аргумента]]
* [[Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции]]
* [[Понятие кривой]]
* [[Касательная к кривой]]
* [[Нормальная плоскость кривой]]
* [[Соприкасающаяся плоскость кривой]]
* [[Спрямляющая плоскость кривой]]
* [[Нормаль]]
* [[Главная нормаль]]
* [[Бинормаль]]
* [[Длина дуги кривой]]
* [[Естественная параметризация]]
* [[Кривизна кривой]]
* [[Кручение кривой]]
* [[Формулы Френе]]
* [[Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника]]
* [[Натуральные уравнения кривой]]
* [[Понятие поверхности]]
* [[Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности]]
* [[Первая квадратичная форма]]
* [[Длина дуги кривой на поверхности]]
* [[Угол между кривыми на поверхности]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Вторая квадратичная форма поверхности]]
* [[Кривизна кривой, лежащей на поверхности]]

== Геометрическая структура систем линейных уравнений ==
* [[Линейные подпространства]]
* [[Сумма и пересечение линейных подпространств]]
* [[Многомерные плоскости]]
* [[Взаимное расположение многомерных плоскостей]]

== Геометрическая структура систем линейных неравенств ==
* [[Выпуклые множества]]
* [[Выпуклые конусы]]
* [[Отделимость выпуклых множеств]]
* [[Конечные конусы]]
* [[Выпуклое многогранное множество]]
* [[Грани многогранного множества]]
* [[Параметрическое уравнение многогранного множества]]
* [[Геометрия задачи линейного программирования]]

== Практика ==
* [[Задачи по высшей алгебре]]
* [[Задачи по аналитической геометрии]]</text>
    <sha1>24bbaa41dce0d7c576b5f82a5aca363613a117a0</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>175</id>
    <parentid>165</parentid>
    <timestamp>2022-07-10T15:27:05Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>/* Полиномы и их корни */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8925" xml:space="preserve">
== Полиномы и их корни ==
* [[Комплексные числа]]
* [[Полиномы]]
* [[Теорема Безу]]
* [[Схема Горнера]]
* [[Разложение полинома на множители]]
* [[Наибольший общий делитель полиномов]]
* [[Полиномы с вещественными коэффициентами]]
* [[Рациональные дроби]]

== Матрицы и определители ==
* [[Матрицы и операции с ними]]
* [[Определители второго порядка]]
* [[Определители третьего порядка]]
* [[Перестановки]]
* [[Определители порядка n]]
* [[Алгебраические дополнения и миноры]]
* [[Определитель ступенчатой матрицы]]
* [[Блочные матрицы]]
* [[Определитель произведения двух матриц]]
* [[Обратная матрица]]
* [[Ортогональные матрицы]]
* [[Характеристический полином матрицы]]

== Линейные пространства ==
*[[Линейные операции над векторами]]
* [[Линеал]]
* [[Линейная зависимость и независимость векторов]]
* [[Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве]]
* [[Базис и размерность линеала]]
* [[Ранг матрицы]]
* [[Изоморфизм линеалов]]
* [[Аффинные пространства]]
* [[Аффинные системы координатa]]
* [[Геометрический смысл аффинных координат]]
* [[Декартовые прямоугольные системы координат]]
* [[Полярная система координат]]
* [[Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Сферические координаты в трехмерном пространстве]]
* [[Деление вектора в заданном отношении]]
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Евклидовы, нормированные и метрические пространства]]
* [[Векторное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение трех векторов]]
* [[Двойное векторное произведение]]
== Системы линейных уравнений ==
* [[Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений]]
* [[Системы линейных уравнений с квадратной матрицей]]
* [[Структура общего решения однородной системы линейных уравнений]]
* [[Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений]]
* [[Метод Гаусса]]
* [[Геометрический смысл систем линейных уравнений]]
* [[Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости]]
* [[Геометрический смысл систем линейных неравенств]]
* [[Нормированное уравнение плоскости (прямой)]]
* [[Пучки плоскостей (прямых на плоскости)]]
* [[Взаимное расположение прямых и плоскостей]]

== Квадратичные формы ==
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду]]
* [[Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования]]
* [[Положительно определенные квадратичные формы]]
* [[Закон инерции]]
* [[Собственные значения и собственные векторы матрицы]]
* [[Подобные матрицы]]
* [[Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду]]
* [[Унитарные матрицы]]
* [[Эрмитовы формы]]

== Преобразование координат ==
* [[Преобразование декартовых прямоугольных координат]]
* [[Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве]]
* [[Преобразование аффинных координат]]
* [[Линии и поверхности второго порядка]]
* [[Алгебраические линии и поверхности]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах]]
* [[Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду]]
* [[Классификация линий второго порядка]]
* [[Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат]]
* [[Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов]]
* [[Поверхности вращения]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Гиперболоиды]]
* [[Параболоиды]]
* [[Цилиндрические поверхности]]
* [[Конические поверхности]]

== Элементы общей теории кривых и поверхностей ==
* [[Векторная функция скалярного аргумента]]
* [[Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции]]
* [[Понятие кривой]]
* [[Касательная к кривой]]
* [[Нормальная плоскость кривой]]
* [[Соприкасающаяся плоскость кривой]]
* [[Спрямляющая плоскость кривой]]
* [[Нормаль]]
* [[Главная нормаль]]
* [[Бинормаль]]
* [[Длина дуги кривой]]
* [[Естественная параметризация]]
* [[Кривизна кривой]]
* [[Кручение кривой]]
* [[Формулы Френе]]
* [[Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника]]
* [[Натуральные уравнения кривой]]
* [[Понятие поверхности]]
* [[Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности]]
* [[Первая квадратичная форма]]
* [[Длина дуги кривой на поверхности]]
* [[Угол между кривыми на поверхности]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Вторая квадратичная форма поверхности]]
* [[Кривизна кривой, лежащей на поверхности]]

== Геометрическая структура систем линейных уравнений ==
* [[Линейные подпространства]]
* [[Сумма и пересечение линейных подпространств]]
* [[Многомерные плоскости]]
* [[Взаимное расположение многомерных плоскостей]]

== Геометрическая структура систем линейных неравенств ==
* [[Выпуклые множества]]
* [[Выпуклые конусы]]
* [[Отделимость выпуклых множеств]]
* [[Конечные конусы]]
* [[Выпуклое многогранное множество]]
* [[Грани многогранного множества]]
* [[Параметрическое уравнение многогранного множества]]
* [[Геометрия задачи линейного программирования]]

== Практика ==
* [[Задачи по высшей алгебре]]
* [[Задачи по аналитической геометрии]]</text>
    <sha1>4cd3a9f0d748f9f183ee40c3e95432533bf761af</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Определители второго порядка</title>
  <ns>0</ns>
  <id>55</id>
  <revision>
    <id>166</id>
    <timestamp>2022-07-06T15:34:33Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3236" xml:space="preserve">Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2, 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ &amp;#8212;  заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где 
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе &amp;#8212;  на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$ 

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }. 
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

&lt;p&gt;Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или 
$\left| \begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right|$.
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|$. 
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
&lt;/p&gt;</text>
    <sha1>1cd808b91a5eb695bb49d3619906c30aa18d52f8</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>169</id>
    <parentid>166</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T16:01:38Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3237" xml:space="preserve">Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2, 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ &amp;#8212;  заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где 
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе &amp;#8212;  на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$ 

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }. 
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

&lt;p&gt;Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или 
$\left| \begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right|$.
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|$. 
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
&lt;/p&gt;</text>
    <sha1>f1ea99427f913ea6591a032acf3507cee54b475f</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>170</id>
    <parentid>169</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T16:02:02Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3282" xml:space="preserve">Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными &lt;math&gt;\xi_{1}&lt;/math&gt; и &lt;math&gt;\xi_{2}&lt;/math&gt;:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 = \beta_{1}, \\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 = \beta_2, 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
где $\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \beta_{1}, \beta_2$ &amp;#8212;  заданные числа. В матричной записи систему можно представить в виде ${\bf A}x={\bf b}$, где 
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right),
x = \left(\begin{array}{c} \xi_{1} \\ \xi_2 \end{array}\right),
b = \left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_2 \end{array}\right).
\end{equation}

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22}$, а второе &amp;#8212;  на $(-\alpha_{12})$. Складывая полученные равенства, получи
$(\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} ) \xi_{1} = (\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12}).$ 

Предположим, что $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} \ne 0$, тогда
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }. 
\end{equation}

Аналогично, умножая первое равенство на $(-\alpha_{21})$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{11}$, и складывая, получаем
\begin{equation}
\xi_2 =\frac{\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} }{\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21} }.
\end{equation}

Полученные $\xi_{1}$ и $\xi_2$ являются решением исходной системы уравнений.

{{Определение
|definition=
Величина $\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21}$, называется ''определителем второго порядка'' матрицы ${\bf A}$.
}}

&lt;p&gt;Определитель второго порядка матрицы ${\bf А}$ обозначается $\det {\bf A}$ или 
$\left| \begin{array}{cc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} 
\end{array}\right|$.
&lt;/p&gt;

&lt;p&gt;Заметим, что $\beta_{1} \alpha_{22} - \beta_2 \alpha_{12} = \left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|$, $\beta_2 \alpha_{11} - \beta_{1} \alpha_{21} = \left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|$. 
Поэтому соотношения для $\xi_{1}$ и $\xi_2$ можно представить в виде
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{cc} \beta_{1} &amp; \alpha_{12} \\ \beta_2 &amp; \alpha_{22} \end{array}\right|} {\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc} \alpha_{11} &amp; \beta_{1} \\ \alpha_{21} &amp; \beta_2 \end{array}\right|} {\det {\bf A}}.
\end{equation}
Эти формулы называются ''формулами Крамера'' для решения системы уравнений.
&lt;/p&gt;</text>
    <sha1>7131254983da6d12d9ec84fcf5431167790a2ffe</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Определители третьего порядка</title>
  <ns>0</ns>
  <id>56</id>
  <revision>
    <id>167</id>
    <timestamp>2022-07-06T15:36:16Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$: \begin{equation...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4938" xml:space="preserve">Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\ 
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3. 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right), 
x = \left(\begin{array}{c} 
\xi_{1} \\  \xi_2 \\ \xi_3 
\end{array}\right), 
b = \left(\begin{array}{c} 
\beta_{1}  \\ \beta_2 \\ \beta_3 
\end{array}\right).
\end{equation} 

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье &amp;#8212;  на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1} 
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation} 

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}  
\end{equation} 
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation} 
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|.
\end{equation} 

Для решения системы с тремя неизвестными также справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\beta_{1} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\beta_2 &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\beta_3 &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \beta_{1} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \beta_2 &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \beta_3 &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \beta_{1} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \beta_2 \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \beta_3 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}</text>
    <sha1>b78103a19ee494e244716c47367c48916dea0ab9</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>168</id>
    <parentid>167</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T15:44:13Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4928" xml:space="preserve">Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\ 
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3. 
\end{array}\right.  
\end{equation} 

В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right), 
x = \left(\begin{array}{c} 
\xi_{1} \\  \xi_2 \\ \xi_3 
\end{array}\right), 
b = \left(\begin{array}{c} 
\beta_{1}  \\ \beta_2 \\ \beta_3 
\end{array}\right).
\end{equation} 

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье &amp;#8212;  на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1} 
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation} 

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}  
\end{equation} 
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation} 
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|.
\end{equation} 

Для решения системы с тремя неизвестными справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\beta_{1} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\beta_2 &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\beta_3 &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \beta_{1} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \beta_2 &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \beta_3 &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \beta_{1} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \beta_2 \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \beta_3 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}</text>
    <sha1>4df5722fba362b5d04bb745a041682140c281d3f</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>171</id>
    <parentid>168</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T16:03:37Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4932" xml:space="preserve">Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными &lt;math&gt;\xi_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\xi_2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\xi_3&lt;/math&gt;:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l} 
\alpha_{11} \xi_{1} + \alpha_{12} \xi_2 + \alpha_{13} \xi_3 = \beta_{1},\\ 
\alpha_{21} \xi_{1} + \alpha_{22} \xi_2 + \alpha_{23} \xi_3 = \beta_2,\\ 
\alpha_{31} \xi_{1} + \alpha_{32} \xi_2 + \alpha_{33} \xi_3 = \beta_3. 
\end{array}\right.  
\end{equation} 

В матричной записи система также имеет вид $Ax=b$, где
\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right), 
x = \left(\begin{array}{c} 
\xi_{1} \\  \xi_2 \\ \xi_3 
\end{array}\right), 
b = \left(\begin{array}{c} 
\beta_{1}  \\ \beta_2 \\ \beta_3 
\end{array}\right).
\end{equation} 

Допустим, что система имеет решение. Для его нахождения умножим первое равенство на $\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}$, второе &amp;#8212;  на $\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}$, третье &amp;#8212;  на $\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}$. Складывая полученные равенства, имеем
\begin{equation}
[\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})]\xi_{1} 
= \beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22}).
\end{equation} 

Если выражение
\begin{equation}
\alpha_{11} (\alpha_{22} \alpha_{33} -\alpha_{23} \alpha_{32}) + \alpha_{21} (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \alpha_{31} (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})
= \alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31}  
\end{equation} 
не равно нулю, то
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\beta_{1} (\alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{23} \alpha_{32}) + \beta_2 (\alpha_{13} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{33}) + \beta_3 (\alpha_{12} \alpha_{23} - \alpha_{13} \alpha_{22})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Аналогично находим
\begin{equation}
\xi_2 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{21} \alpha_{33}) + \beta_2 (\alpha_{11} \alpha_{33} - \alpha_{13} \alpha_{31}) + \beta_3 (\alpha_{13} \alpha_{21} - \alpha_{11} \alpha_{23})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} },
\end{equation} 
а затем
\begin{equation}
\xi_3 = \frac{\beta_{1} (\alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{22} \alpha_{31}) + \beta_2 (\alpha_{12} \alpha_{31} - \alpha_{11} \alpha_{32}) + \beta_3 (\alpha_{11} \alpha_{22} - \alpha_{12} \alpha_{21})} {\alpha_{11} \alpha_{22} \alpha_{33} - \alpha_{11} \alpha_{23} \alpha_{32} + \alpha_{13} \alpha_{21} \alpha_{32} - \alpha_{12} \alpha_{21} \alpha_{33} + \alpha_{12} \alpha_{23} \alpha_{31} - \alpha_{13} \alpha_{22} \alpha_{31} }.
\end{equation} 

Определитель третьего порядка матрицы $\bf А$ также обозначается $\det {\bf A}$ или, что то же самое, с использованием прямых скобок
$
\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|.
$

Для решения системы с тремя неизвестными справедливы формулы Крамера
\begin{equation}
\xi_{1} = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\beta_{1} &amp; \alpha_{12} &amp; \alpha_{13} \\ 
\beta_2 &amp; \alpha_{22} &amp; \alpha_{23} \\ 
\beta_3 &amp; \alpha_{32} &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_2 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \beta_{1} &amp; \alpha_{13} \\ 
\alpha_{21} &amp; \beta_2 &amp; \alpha_{23} \\ 
\alpha_{31} &amp; \beta_3 &amp; \alpha_{33} 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}, 
\xi_3 = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; \beta_{1} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; \beta_2 \\ 
\alpha_{31} &amp; \alpha_{32} &amp; \beta_3 
\end{array}\right|}{\det {\bf A}}.
\end{equation}</text>
    <sha1>fdbae2baa8498e1244ce45e5f83f78efd6956348</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Матрицы и операции с ними</title>
  <ns>0</ns>
  <id>38</id>
  <revision>
    <id>172</id>
    <parentid>137</parentid>
    <timestamp>2022-07-06T16:34:07Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13010" xml:space="preserve">{{Определение 
|definition=Матрицей называется таблица элементов, состоящая из &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; строк и &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; столбцов.
}}
Элементы матриц часто обозначают одной буквой с двумя индексами $\alpha_{ij}$, первый из которых обозначает номер строки, а второй &amp;#8212;  номер столбца. Таким образом, матрица
\begin{equation}
A = \left(
\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{12} &amp; ... &amp; \alpha_{1n} \\ 
\alpha_{21} &amp; \alpha_{22} &amp; ... &amp; \alpha_{2n} \\ 
... &amp; ... &amp; ... &amp; ... \\ 
\alpha_{m1} &amp; \alpha_{m2} &amp; ... &amp; \alpha_{mn} 
\end{array}
\right) = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}.
\end{equation}

Если строки матриц обозначить латинской буквой с индексом внизу $a_{i}$, $i=\overline{1,m}$, а столбцы &amp;#8212;  с индексом вверху $a^{j}$, $j=\overline{1,n}$, то матрицу $A$ можно записать как $A = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. 

Если необходимо подчеркнуть размер матрицы, то пишут $A=[m\times n]$.
{{Определение 
|definition=Матрица называется ''квадратной'', если число ее строк $m$ равно числу столбцов $n$.
}}
{{Определение 
|definition=''Диагональ'' квадратной матрицы $\alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn}$ называется ''главной''.
}}
{{Определение 
|definition=Квадратная матрица называется ''диагональной'', если все отличные от нуля элементы этой матрицы стоят на главной диагонали.
}}

\begin{equation}
A = \left(\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11} &amp; 0 &amp; ... &amp; 0 \\ 
0 &amp; \alpha_{22} &amp; ... &amp; 0 \\ 
... &amp; ... &amp; ... &amp; ... \\ 
0 &amp; 0 &amp; ... &amp; \alpha_{nn} 
\end{array}\right) = diag\{ \alpha_{11}, \alpha_{22}, ..., \alpha_{nn} \} .
\end{equation}

{{Определение 
|definition=Матрица $E=diag\{ 1, 1, ..., 1\} $ называется ''единичной''.
}}
{{Определение 
|definition=Квадратная матрица, у которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется ''нижней (верхней) треугольной''.
}}
{{Определение 
|definition=Две матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, $B = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ одного и того же размера называются ''равными'' и обозначаются ${\bf A} = {\bf B}$, если у них равны соответствующие элементы, то есть $\alpha_{ij} = \beta_{ij}$, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.
}}
{{Определение 
|definition=Произведением матрицы ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ на число $\gamma$ называется матрица $\gamma {\bf A} = \{ \gamma \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.
}}
{{Определение 
|definition=Суммой двух матриц одного и того же размера называется матрица, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых.
}}

Таким образом, если ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, ${\bf B} = \{ \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$, то сумма ${\bf A} + {\bf B} = \{ \alpha_{ij} + \beta_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n}$.

== Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число ==

# ${\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A}$
# $({\bf A} + {\bf B}) + {\bf C} = {\bf A} + ({\bf B} + {\bf C})$
# Матрица ${\bf 0}$, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и играет роль нуля: ${\bf A} + {\bf 0} = {\bf A}$
# Для любой матрицы ${\bf А}$ существует противоположная $-{\bf A} = (-1){\bf A}$, то есть ${\bf A}+(-{\bf A})=0$
# $(\gamma_{1} +\gamma_2 ){\bf A} = \gamma_{1} {\bf A} + \gamma_2 {\bf A}$
# $\gamma ({\bf A} + {\bf B}) = \gamma {\bf A} + \gamma {\bf B}$
# $\gamma_{1} (\gamma_2 {\bf A}) = (\gamma_{1} \gamma_2) {\bf A}$
# $1\cdot {\bf A} = {\bf A}$.

{{Определение 
|definition=''Произведением двух матриц'' ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jk} \}_{j,k=1}^{n,p}$ называется матрица ${\bf C} = \{ \gamma_{ik} \}_{i,k=1}^{m,p} = {\bf AB}$, где $\gamma_{ik} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jk}$.
}}
Непосредственно из данного определения следует, что 
$\gamma_{ik} = a_{i} b^{k} = (\alpha_{i1}  \alpha_{i2}  ... \alpha_{in} ) \left(\begin{array}{c} \beta_{1k} \\ \beta_{2k}  \\ \vdots  \\ \beta_{nk} \end{array}\right) = \alpha_{i1} \beta_{1k} + \alpha_{i2} \beta_{2k} + \cdots + \alpha_{in} \beta_{nk}.$ 
{{Замечание
|content=Для существования произведения двух матриц их размеры должны быть согласованы: количество столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
}}
{{Замечание
|content=Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, поскольку даже для квадратных матриц в общем случае ${\bf AB} \ne {\bf BA}$.
}}

{{Определение 
|definition=Матрицы ${\bf A}$ и ${\bf B}$, для которых ${\bf AB} = {\bf BA}$ называются ''коммутирующими''.
}}

Заметим, что если ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [m \times n]$, ${\bf B} = [b^{1}, b^{2}, ..., b^{p} ] = [n \times p]$, то произведение
${\bf AB} = {\bf A}[b^{1}, b^{2}, ..., b^{p}] = [{\bf A}b^{1}, {\bf A}b^{2}, ..., {\bf A}b^{p}], {\bf AB} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m}]{\bf B} = [a_{1} {\bf B}, a_2 {\bf B}, ..., a_{m} {\bf B}].$

Пусть неизвестные $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ связаны с системой неизвестных $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ с помощью линейных соотношений
\begin{equation} 
\left\{\begin{array}{c} 
\xi_{1} = \alpha_{11} \eta_{1} + \alpha_{12} \eta_2 + \cdots \alpha_{1n} \eta_n, \\ 
\xi_2 = \alpha_{21} \eta_{1} + \alpha_{22} \eta_2 + \cdots \alpha_{2n} \eta_n, \\ 
\cdots \cdots \cdots  \\ 
\xi_{m} = \alpha_{m1} \eta_{1} + \alpha_{m2} \eta_2 + \cdots \alpha_{mn} \eta_n, 
\end{array}\right.  
\end{equation} 
где $\alpha_{ij} $ некоторые числа, $i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$.

Переход от $\xi_{1}, \xi_2, ..., \xi_{m}$ к $\eta_{1}, \eta_2, ..., \eta_n$ по приведенным формулам называется ''линейным преобразованием'' неизвестных.

Введем матрицу ${\bf A} = [a_{1}, a_2, ..., a_{m} ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ] = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $ и столбцы
$x = \left(\begin{array}{c} 
\xi_{1}  \\ \xi_2  \\ \vdots  \\ \xi_{m} 
\end{array}\right)$, 
$y = \left(\begin{array}{c} 
\eta_{1} \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n 
\end{array}\right)$. 
Тогда в матричной записи линейные преобразования можно представить в виде
\begin{equation}
x = {\bf A}y \Leftrightarrow \xi_{i} = \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \eta_{j},  i=\overline{1,m} \Leftrightarrow \xi_{i} = a_{i} y, i=\overline{1,m} \Leftrightarrow  x = \sum_{j=1}^{n}a^{j} \eta_{j}.
\end{equation}

{{Лемма
|statement=Пусть $x={\bf A}y$, $y={\bf B}z$ {{---}}  два последовательных линейных преобразования переменных. Тогда матрица линейного преобразования переменных $x$ к переменным $z$ равна произведению матриц преобразований.
|proof= С одной стороны, очевидно, что $x={\bf A}({\bf B}z)$. С другой стороны,
$\xi_{i} = \sum_{k=1}^{n} {\alpha_{ik} \eta_{k} }  = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \left( \sum_{j=1}^{p}\beta_{kj} \zeta_{j}  \right) = \sum_{j=1}^{p}\left( \sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \beta_{kj}  \right) \zeta_{j} = \sum_{j=1}^{p}\gamma_{ij} \zeta_{j}, i=\overline{1,m}$,
где $\beta_{kj}$ {{---}}  элемент матрицы ${\bf B} = [n \times p]$, $\zeta_{j}$ {{---}}  элемент столбца $z$, $j=\overline{1,p}$.

По определению произведения матриц $\gamma_{ij}$ является элементом матрицы ${\bf AB}$, то есть $x=({\bf AB})z$. Таким образом, для любого столбца $z$ справедливо равенство $x={\bf A}({\bf B}z)=({\bf AB})z$.
}}

== Свойства операции произведения матриц ==

# $({\bf A}+{\bf B}){\bf C} = {\bf AC} + {\bf BC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[m\times n]$, ${\bf C}=[n\times p]$
# ${\bf A} ({\bf B}+{\bf C} ) = {\bf AB} + {\bf AC}$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[n\times p]$
# $({\bf AB}){\bf C}={\bf A}({\bf BC})$, ${\bf A}=[m\times n]$, ${\bf B}=[n\times p]$, ${\bf C}=[p\times s]$
# Если ${\bf E}_n =[n\times n]$, ${\bf E}_{m} =[m\times m]$ две единичные матрицы, то для любой ${\bf A}=[m\times n]$ справедливы равенства ${\bf AE}_n = {\bf E}_{m} {\bf A} = {\bf A}$.

{{Определение 
|definition=Произведение матриц $\underbrace{{\bf A}\cdot {\bf A}\cdots {\bf A}}_{k} = {\bf A}^{k}$ называется $k$-й степенью матрицы ${\bf A}$, причем ${\bf A}^{0} = {\bf E}$.
}}

{{Определение 
|definition=''Транспонированием матрицы'' называется замена ее столбцов строками, а строк {{---}} столбцами.
}}

Таким образом, если матрица
\begin{equation}
{\bf A} = \left(\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11}  &amp; \alpha_{12} &amp; ... &amp; \alpha_{1n} \\
\alpha_{21}  &amp; \alpha_{22} &amp; ... &amp; \alpha_{2n} \\
... &amp; ... &amp; ... &amp; ... \\ 
\alpha_{m1}  &amp; \alpha_{m2} &amp; ... &amp; \alpha_{mn} 
\end{array}\right) = [m\times n], 
\end{equation}
то транспонированная матрица
\begin{equation}
{\bf A}^{T} = \left(\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11} &amp; \alpha_{21} &amp; ... &amp; \alpha_{m1} \\ 
\alpha_{12} &amp; \alpha_{22} &amp; ... &amp; \alpha_{m2} \\ 
... &amp; ... &amp; ... &amp; ... \\ 
\alpha_{1n} &amp; \alpha_{2n} &amp; ... &amp; \alpha_{nm} 
\end{array}\right) = [n\times m].
\end{equation}
Следовательно, если ${\bf A}^{T} = \{ \delta_{ks} \}_{k,s=1}^{n,m} $, то $\delta_{ks} =\alpha_{sk} $, $s=\overline{1,m}$, $k=\overline{1,n}$.

Непосредственно из определения следует, что $\left({\bf A}^{T} \right)^{T} = {\bf A}$, $({\bf A}+{\bf B})^{T} = {\bf A}^{T} + {\bf B}^{T}$, $(\gamma {\bf A})^{T} =\gamma {\bf A}^{T}$.

{{Определение 
|definition=Матрица, равная своей транспонированной матрице, называется ''симметрической матрицей''.
}}

Таким образом, если выполнено равенство ${\bf А} = {\bf А}^{Т}$, то ${\bf А}$ &amp;#8212;  симметрическая матрица и ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

{{Теорема
|statement=Транспонированное произведение двух матриц равно произведению транспонированных сомножителей, взятых в обратном порядке, то есть $({\bf AB})^{T} = {\bf B}^{T} {\bf A}^{T}$.
|proof=Пусть ${\bf A} = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{m,n} $, ${\bf B} = \{ \beta_{jl} \}_{j,l=1}^{n,p}$. Тогда ${\bf AB} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \beta_{jl}  \right\}_{i,l=1}^{m,p} =\left\{\gamma_{il} \right\}_{i,l=1}^{m,p}$. Допустим, что ${\bf B}^{T} = \{ \delta_{lj} \}_{l,j=1}^{p,n} $, ${\bf A}^{T} = \{ \theta_{ji} \}_{j,i=1}^{n,m} $, получаем ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\delta_{lj} \theta_{ji}  \right\}_{l,i=1}^{p,m} = \{ \mu_{li} \}_{l,i=1}^{p,m}$. Но
$\mu_{li} = \sum_{j=1}^{n}{\delta_{lj} \theta_{ji} }  = \sum_{j=1}^{n}{\beta_{jl} \alpha_{ij} } = \sum_{j=1}^{n} {\alpha_{ij} \beta_{jl} }  =\gamma_{il},$ 
то есть окончательно имеем равенство ${\bf B}^{T} {\bf A}^{T} =({\bf AB})^{T} $.
}}</text>
    <sha1>adc0075f47141e3d1bab6c1a4581cdfeefbe5c47</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Обратная матрица</title>
  <ns>0</ns>
  <id>41</id>
  <revision>
    <id>173</id>
    <parentid>141</parentid>
    <timestamp>2022-07-10T14:56:20Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12195" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=Правой обратной матрицей для матрицы &lt;math&gt;A=[n\times n]&lt;/math&gt; называется такая матрица $U$, что $AU=E$, где $E$ {{---}}  единичная матрица.
}}
{{Определение
|definition=Левой обратной матрицей для матрицы $A=[n\times n]$ называется такая матрица $V$, что $VA=E$, где $E$ &amp;#8212;  единичная матрица.
}}
{{Определение
|definition=
Матрица $A=[n\times n]$ называется ''невырожденной'', если $\det A\ne 0$, в противном случае, она называется ''вырожденной''.
}}
{{Определение
|definition=Матрица, одновременно являющаяся как правой, так и левой обратной матрицей, называется ''обратной матрицей'' для матрицы $A=[n\times n]$ и обозначается $A^{-1}$, то есть $A^{-1} =U=V$.
}}
{{Теорема
|statement=Матрица $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная.
|proof=''Необходимость.'' Допустим, что обратная матрица существует. Тогда существует правая обратная матрица $U$, причем $AU=E$, следовательно, $\det (AU)=\det E = 1$. В силу свойств определителей $\det (AU) = \det A\det U$, отсюда, $\det A\ne 0$, то есть матрица $A$ является невырожденной.

''Достаточность.'' Пусть $\det A\ne 0$. Построим вспомогательную матрицу $\tilde{A}$, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы $A$, следующим образом:
\begin{equation}
\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc} 
A_{11} &amp; A_{21} &amp; ... &amp; A_{n1} \\ 
A_{12} &amp; A_{22} &amp; ... &amp; A_{n2} \\ 
\vdots &amp; \vdots &amp; ... &amp; \vdots \\ 
A_{1n} &amp; A_{2n} &amp; ... &amp; A_{nn}  
\end{array}\right).
\end{equation} 
Вычисляя произведение матриц $A\tilde{A}$, получаем
\begin{equation}
A\tilde{A} = \left(\begin{array}{cccc} 
\alpha_{11}  &amp; \alpha_{12} &amp; ... &amp; \alpha_{1n} \\ 
\alpha_{21}  &amp; \alpha_{22} &amp; ... &amp; \alpha_{2n} \\ 
\vdots  &amp;  \vdots &amp; ... &amp; \vdots  \\ 
\alpha_{n1} &amp; \alpha_{n2}  &amp; ... &amp; \alpha_{nn} 
\end{array}\right) 
\left(\begin{array}{cccc} 
A_{11} &amp; A_{21}  &amp; ... &amp; A_{n1} \\ 
A_{12} &amp; A_{22}  &amp; ... &amp; A_{n2} \\ 
\vdots &amp; \vdots &amp; ... &amp; \vdots  \\ 
A_{1n} &amp; A_{2n} &amp; ... &amp; A_{nn} 
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 
{\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{1k} } &amp; {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{2k} } &amp; ... &amp; {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{nk} } \\ 
{\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{1k} } &amp; {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{2k} } &amp; ... &amp; {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{nk} } \\ 
\vdots  &amp;  \vdots &amp; ... &amp; \vdots  \\ 
{\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{1k} } &amp; {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{2k} } &amp; ... &amp; {\sum_{k=1}^{n}\alpha_{nk} A_{nk} }
\end{array}\right).
\end{equation}

В соответствии с теоремой о разложении определителя по элементам какой-либо строки имеем 
\begin{equation} 
\sum_{k=1}^{n}\alpha_{ik} A_{jk}  = \left[\begin{array}{l} {\det A, i=j;} \\ {0,   i\ne j.} \end{array}\right.  
\end{equation} 

Следовательно, произведение $A\tilde{A}=diag\{ \det A,\det A,...,\det A\} =(\det A)E$, поэтому матрица $U=\frac{1}{\det A} \tilde{A}$ является правой обратной матрицей.

Аналогично показывается, что $V=\frac{1}{\det A} \tilde{A}$ является левой обратной матрицей. Таким образом, по определению обратная матрица
$A^{-1} = U = V = \frac{1}{\det A} \tilde{A}$.
}}

{{Определение
|definition=Матрица $\tilde{A}$, построенная в ходе доказательства, называется ''присоединенной матрицей''.
}}
{{Следствие
|statement=У любой невырожденной матрицы $A$ кроме $A^{-1} $ не существует других левых (правых) обратных матриц.
|proof=Предположим, что у матрицы $A$ имеется правая обратная матрица $U$, для которой $AU=E$. Так как по условию $\det A\ne 0$, то существует матрица $A^{-1}$. Тогда получаем $A^{-1} AU=A^{-1} E$, следовательно, $EU=A^{-1}$, отсюда $U=A^{-1} $. Аналогично показывается, что $V=A^{-1}$.
}}
{{Следствие
|statement=Обратная матрица правой (левой) унитреугольной матрицы является правой (левой) унитреугольной матрицей.
|proof= Заметим, что определитель унитреугольной матрицы равен единице, поэтому соответствующая обратная матрица совпадает с присоединенной матрицей $\tilde{A}$. Рассмотрим произведение левой унитреугольной матрицы на матрицу $\tilde{A}$. Так как $\alpha_{ij}=0$, $i&lt;j$, то в первая строка произведения $A\tilde{A}$ определяется соотношениями
$1 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{1k} = \alpha_{11} A_{11} = A_{11} $, $0 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{2k} = \alpha_{11} A_{21} = A_{21} $, ..., $0 = \sum_{k=1}^{n}\alpha_{1k} A_{nk} = \alpha_{11} A_{n1} = A_{n1}$, 
то есть имеем $A_{11} = 1$, $A_{k1} = 0$, для любого $k = \overline{2, n}$. Для второй строки имеем
$0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{1k} =\alpha_{21} A_{11} +\alpha_{22} A_{12} =\alpha_{21} +A_{12}$, $1=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{2k} =A_{22}$, $0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{3k} =\alpha_{21} A_{31} +\alpha_{22} A_{32} =A_{32} $, ...,  $0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{2k} A_{nk} =\alpha_{21} A_{n1} +\alpha_{22} A_{n2} =A_{n2}$,
таким образом, $A_{22} =1$, $A_{32} =\cdots =A_{n2} =0$ и так далее.
}}
{{Теорема
|statement=Для любой невырожденной матрицы $A$ справедливы соотношения:
# $\det A^{-1} =\frac{1}{\det A}$
# $\left(A^{-1} \right)^{-1} =A$
# $\left(A^{T} \right)^{-1} =\left(A^{-1} \right)^{T}$.
|proof= 1. По определению $AA^{-1} =E$, поэтому $\det \left(AA^{-1} \right)=\det E$, следовательно, имеем $\det A\det A^{-1} =1$.

2. Очевидно, что справедливо соотношение $\left(A^{-1} \right)^{-1} A^{-1} = E$. Умножим это равенство справа на матрицу $A$, получаем
$\left(A^{-1} \right)^{-1} A^{-1} A=EA$, отсюда $\left(A^{-1} \right)^{-1} E=A$, следовательно, $\left(A^{-1} \right)^{-1} = A$.

3. Поскольку $AA^{-1} =E$, то $\left(AA^{-1} \right)^{T} =E^{T} =E$. В соответствии с теоремой 2.1.1 $\left(AA^{-1} \right)^{T} =\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T}$, таким образом, $\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T} =E$. Умножим обе части последнего равенства справа на матрицу $\left(A^{T} \right)^{-1}$, имеем $\left(A^{-1} \right)^{T} A^{T} \left(A^{T} \right)^{-1} =E\left(A^{T} \right)^{-1} $. Отсюда с учетом соотношения $A^{T} \left(A^{T} \right)^{-1} =E$, окончательно получаем $\left(A^{T} \right)^{-1} =\left(A^{-1} \right)^{T} $.
}}
{{Теорема
|statement=Для любых невырожденных матриц $A$ и $B$ справедливо равенство $\left(AB\right)^{-1} =B^{-1} A^{-1}$. 
|proof=По условию $\det A\ne 0$, $\det B\ne 0$, поэтому $\det (AB)\ne 0$. Следовательно, существует обратная матрица $\left(AB\right)^{-1}$. Возьмем матрицу $B^{-1} A^{-1} $ и, вычисляя произведение $B^{-1} A^{-1} \left(AB\right)$, имеем
$B^{-1} A^{-1} \left(AB\right)=B^{-1} A^{-1} AB=B^{-1} EB=B^{-1} B=E$.

Следовательно, $B^{-1} A^{-1} $ является левой обратной матрицей. Аналогично, получаем
$\left(AB\right)B^{-1} A^{-1} =ABB^{-1} A^{-1} =AEA^{-1} =AA^{-1} =E$.

Таким образом, матрица $B^{-1} A^{-1} $ одновременно является как правой, так и левой обратной матрицей, поэтому $B^{-1} A^{-1} =\left(AB\right)^{-1}$.
}}
{{Теорема
|statement=Решение системы линейных уравнений $Ax=b$ с квадратной невырожденной матрицей имеет вид $x=A^{-1} b$.
|proof= Пусть $x^{*}$ &amp;#8212;  решение системы. Тогда имеем тождество $Ax^{*} \equiv b$. Умножим обе части этого тождества слева на матрицу $A^{-1}$, получаем $A^{-1} Ax^{*} \equiv A^{-1} b$, следовательно, $x^{*} =A^{-1} b$.

С другой стороны, если подставить $x=A^{-1} b$ в систему, получаем равенство $A\left(A^{-1} b\right)=AA^{-1} b=b$, то есть $x=A^{-1} b$ является решением системы.

Найдем формулу построения обратной матрицы для ступенчатой матицы
\begin{equation}
S=\left(\begin{array}{cc} S_{11} &amp; {\bf 0} \\ S_{21} &amp; S_{22} \end{array}\right),
\end{equation} 
где $S_{11} =[k\times k]$, $S_{22} =[(n-k)\times (n-k)]$, причем $\det S_{11} \ne 0$, $\det S_{22} \ne 0$. Тогда $\det S=\det S_{11} \det S_{22} \ne 0$, поэтому у матрицы $S$ существует обратная матрица.

Допустим, что
\begin{equation}
S^{-1} =\left(\begin{array}{cc} X &amp; Y \\ Z &amp; T \end{array}\right),
\end{equation} 
причем $X=[k\times k]$, $T=[(n-k)\times (n-k)]$. Тогда в соответствии с правилами умножения блочных матриц, имеем
\begin{equation}
SS^{-1} =\left(\begin{array}{cc} S_{11} &amp; {\bf 0} \\ S_{21} &amp; S_{22} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} X &amp; Y \\ Z &amp; T \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {S_{11} X} &amp; {S_{11} Y} \\  {S_{21} X+S_{22} Z} &amp; {S_{21} Y+S_{22} T} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {E_k } &amp; {\bf 0} \\ {\bf 0} &amp; E_{n-k} \end{array}\right).
\end{equation}

Сравнивая соответствующие блоки матриц, имеем следующие матричные соотношения $S_{11} X=E_k$, $S_{11} Y = 0$, $S_{21} X+S_{22} Z = 0$, $S_{21} Y+S_{22} T=E_{n-k} $. Рассмотрим последовательно данные равенства. Поскольку $\det S_{11} \ne 0$, то из первого соотношения следует, что $X=S_{11}^{-1}$, а из второго &amp;#8212;  $Y=0$. Но тогда из последнего равенства с учетом невырожденности матрицы $S_{22} $ получаем $T=S_{22}^{-1} $. Рассмотрим третье соотношение. Поскольку $X=S_{11}^{-1}$, то $S_{21} S_{11}^{-1} +S_{22} Z = 0$. Выражая из полученного равенства матрицу $Z$, имеем $Z=-S_{22}^{-1} S_{21} S_{11}^{-1} $. Таким образом, окончательно получаем, что обратная матрица
\begin{equation}
S^{-1} =\left(\begin{array}{cc} {S_{11}^{-1} } &amp; {\bf 0} \\  {-S_{22}^{-1} S_{21} S_{11}^{-1} } &amp; {S_{22}^{-1} } \end{array}\right).
\end{equation}
}}</text>
    <sha1>a40bac88ec3cb18dea5f1f7af510d501bc1ad665</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Схема Горнера</title>
  <ns>0</ns>
  <id>57</id>
  <revision>
    <id>174</id>
    <timestamp>2022-07-10T15:26:07Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Возьмем произвольно полином &lt;math&gt;f(x)=a_{0} x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x+a_{n}&lt;/math&gt;.  Пусть $f(x)=(x-c)q(x)+r$, где $r=...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1005" xml:space="preserve">Возьмем произвольно полином &lt;math&gt;f(x)=a_{0} x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x+a_{n}&lt;/math&gt;. 
Пусть $f(x)=(x-c)q(x)+r$, где $r=const$. Ясно, что $q(x)=b_{0} x^{n-1} +b_{1} x^{n-2} +...+b_{n-2} x+b_{n-1} $. Тогда для определения остатка $r$ и коэффициентов $b_{k},$  $k=\overline{0,n-1}$ имеем очевидное соотношение
\begin{equation}
a_{0} x^{n} +a_{1} x^{n-1} +...+a_{n-1} x+a_{n} = (x-c)(b_{0} x^{n-1} +b_{1} x^{n-2} +...+b_{n-2} x+b_{n-1} )+r.
\end{equation} 

Сравнивая коэффициенты полиномов при одинаковых степенях $x$, имеем
\begin{equation}
a_{0} = b_{0}, a_{k} =b_{k} - b_{k-1} c, k=\overline{1,n-1}, a_{n} = r-b_{n-1} c,
\end{equation}
поэтому окончательно получаем схему Горнера
\begin{equation}
b_{0} = a_{0},  b_{k} = a_{k} +b_{k-1} c, k=\overline{1,n-1}, r=a_{n} +b_{n-1} c.  
\end{equation}</text>
    <sha1>cddafcfbb57020c9f3db117f20a8799672c1c280</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Полиномы</title>
  <ns>0</ns>
  <id>58</id>
  <revision>
    <id>176</id>
    <timestamp>2022-07-10T15:36:50Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition='''Полиномом степени''' $n$ называется сумма $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5074" xml:space="preserve">{{Определение
|definition='''Полиномом степени''' $n$ называется сумма $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-1} x + a_{n},$  где $a_{i}$,  $i = \overline{0,n}$ {{---}}  комплексные числа, причем $a_{0} \ne 0$. Число $n$ называется '''степенью полинома''' $f(x)$ и обозначается $n=\deg f(x)$. Если $a_{0} =1$, то полином называется приведенным.
}}

Непосредственно из определения следует, что число $a_{0}$ является полиномом нулевой степени. Число $0$ также является полиномом, но его степень не определена.

{{Определение
|definition=Два полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-1} x + a_{n}$ и $g(x) = b_{0} x^{n} + b_{1} x^{n-1} + ... + b_{n-1} x + b_{n}$ называются '''равными''' (обозначение $f(x)=g(x)$), если для любого $k=\overline{0,n}$ справедливы равенства $a_{k} =b_{k}$.
}}

{{Теорема
|statement=Для любых двух полиномов $f(x)$ и $g(x)$, $\deg f\ge \deg g$, существуют такие однозначно определяемые полиномы $q(x)$ и $r(x)$, что $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, причем $\deg r(x)&lt;\deg g(x)$, либо $r(x)\equiv 0$.
|proof=
Пусть $f(x) = a_{0} x^{n} + ... + a_{n-1} x + a_{n} $, $g(x) = b_{0} x^{m} + ... + b_{m-1} x + b_{m}$, $n\ge m$, $a_{0} \ne 0$, $b_{0} \ne 0$. Построим вспомогательный полином
$f_{1} (x) = f(x) - \frac{ a_{0} }{ b_{0} } x^{n-m} g(x)$.  

Очевидно, что степень построенного полинома $n_{1} =\deg f_{1} (x)&lt;n$. Пусть $a_{10}$ {{---}} старший коэффициент полинома $f_{1} (x)$, таким образом, $f_{1} (x) = a_{1,0} x^{n_1} + ... +a_{1,n_1 - 1} x + a_{ 1,n_1 }$. Если $n_{1} \ge m$, то строим следующий полином
$f_{2} (x) = f_{1} (x) - \frac{ a_{1,0} }{ b_{0} } x^{n_{1} - m} g(x)$.  

Ясно, что справедливо соотношение $n_{2} = \deg f_{2} (x) &lt; n_{1} $, причем $f_{2} (x) = a_{2,0} x^{n_{2} } + ... + a_{2,n_2 - 1} x + a_{2,n_2}$, где коэффициент $a_{2,0} \ne 0$. Если $n_{2} \ge m$, то находим другой полином
$f_{3} (x) = f_{3} (x) - \frac{ a_{2,0} }{b_0} x^{n_{2} - m} g(x)$,  
причем $n_{3} = \deg f_{3} (x)&lt;n_{2} $ и т. д.

По построению $n &gt; n_{1} &gt; n_{2} &gt; n_{3} &gt; ...$, поэтому после конечного числа шагов получаем полином $f_{k} (x)$ такой, что $n_{k} = \deg f_{k} (x) &lt; m$, где 
$f_{k} (x) = f_{k-1} (x) - \frac{a_{k-1,0} }{ b_{0} } x^{n_{k-1} - m} g(x)$.  

Складывая последовательно записанные равенства, получаем
$f_{1} (x) + f_{2} (x) + ... + f_{k-1} (x) + f_{k} (x) =  f(x) + f_{1} (x) + ... + f_{k-1} (x) - \left[\frac{a_0}{b_0} x^{n-m} +\frac{a_{1,0} }{b_0} x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m} \right] g(x).$ 

Тогда после сокращений окончательно имеем
$f_{k} (x) = f(x)-\left[\frac{a_0}{b_0} x^{n-m} + \frac{a_{1,0} }{b_{0} } x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m} \right] g(x),$ 
поэтому если
$q(x) = \frac{a_{0} }{b_{0} } x^{n-m} + \frac{a_{1,0} }{b_0} x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m}, r(x)=f_{k} (x),$ 
то получаем равенство $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$.

Докажем теперь, что полиномы $q(x)$ и $r(x)$ определяются однозначно. Предположим, что существуют полиномы $\bar{q}(x)$ и $\bar{r}(x)$, причем $f(x)=g(x)\bar{q}(x)+\bar{r}(x)$, $\deg \bar{r}(x)&lt;\deg g(x)$ (или $\bar{r}(x)\equiv 0$). Вычитая указанное равенство из $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, получаем
$g(x)[q(x)-\bar{q}(x)] = \bar{r}(x)-r(x).$ 

Но $\deg \{ g(x)[q(x)-\bar{q}(x)]\} \ge \deg g(x)$, в то время как $\deg [\bar{r}(x)-r(x)]&lt;\deg g(x)$. Полученное противоречие доказывает однозначность определения полиномов $q(x)$ и $r(x)$, т. е. $q(x)=\bar{q}(x)$, $r(x)=\bar{r}(x)$.
}}
{{Определение
|definition=Полином $q(x)$ называется '''частным''', а $r(x)$ {{---}} '''остатком от деления''' полинома $f(x)$ на полином $g(x)$.
}}
{{Определение
|definition=Если $r(x)\equiv 0$, то говорят, что полином $f(x)$ делится нацело на полином $g(x)$ (обозначение $f\vdots g$), а сам полином $g(x)$ при этом называется '''делителем полинома''' $f(x)$.
}}</text>
    <sha1>ea308e10444f4806b059e4a7847180fabd1bb4c9</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Наибольший общий делитель полиномов</title>
  <ns>0</ns>
  <id>59</id>
  <revision>
    <id>177</id>
    <timestamp>2022-07-11T21:29:23Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition=Полином &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; называется '''общим делителем''' двух полиномов $f_{0}...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="8256" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=Полином &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; называется '''общим делителем''' двух полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$, если $f_{0} \vdots g$, $f_{1} \vdots g$.
}}

{{Определение
|definition=Общий делитель $d(x)$ полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ называется '''наибольшим общим делителем''' (НОД), если $d(x)$ делится нацело на любой другой общий делитель этих полиномов.
}}

{{Определение
|definition=Полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ называются '''взаимно простыми''', если они не имеют общих делителей положительных степеней.
}}

{{Лемма
|statement=Наибольший общий делитель двух полиномов определяется с точностью до постоянного сомножителя.
|proof=Пусть даны два различных наибольших общих делителя $d_{0} (x)$ и $d_{1} (x)$ полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

По определению НОД $d_{0} (x) = h_{1} (x)d_{1} (x)$, а $d_{1} (x)=h_{0} (x)d_{0} (x)$. Следовательно, $d_{0} (x)=h_{1} (x)h_{0} (x)d_{0} (x)$, поэтому $\deg [h_{0} (x)h_{1} (x)]=0$, отсюда $\deg h_{0} (x)=\deg h_{1} (x)=0$, т. е. полиномы $h_{0} (x)$ и $h_{1} (x)$ являются константами.
}}

== Алгоритм Евклида ==
Приведем конструктивный способ построения НОД двух полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$, который называется алгоритмом Евклида.

Пусть для определенности $\deg f_{0} (x)\ge \deg f_{1} (x)$. Делим полином $f_{0} (x)$ на полином $f_{1} (x)$ с остатком, получаем $f_{0} (x)=f_{1} (x)q_{1} (x)+r_{1} (x)$. Теперь полином $f_{1} (x)$ делим на остаток от деления $r_{1} (x)$, имеем $f_{1} (x)=r_{1} (x)q_{2} (x)+r_{2} (x)$. Затем полином $r_{1} (x)$ делим на $r_{2} (x)$ и т. д. В итоге получаем цепочку равенств:
\begin{align}
f_{0} &amp;= f_{1} q_{1} +r_{1},\\ 
f_{1} &amp;= r_{1} q_{2} +r_{2},\\ 
r_{1} &amp;= r_{2} q_{3} +r_{3},\\ &amp;...,\\
r_{k-2} &amp;= r_{k-1} q_{k} +r_{k},\\
r_{k-1} &amp;= r_{k} q_{k+1}.
\end{align}
Так как $\deg r_{1} &gt;\deg r_{2} &gt;\cdots &gt;\deg r_{k-1} &gt;\deg r_{k} $, то цепочка равенств конечна и в ней существует звено, в котором деление осуществляется нацело. Докажем, что полином $r_{k} (x)$ является наибольшим общим делителем полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

Действительно, поскольку $r_{k-1} \vdots  r_{k} $, то оба слагаемых в правой части соотношения $r_{k-2} =r_{k-1} q_{k} +r_{k}$ делятся на $r_{k} (x)$, поэтому $r_{k-2} \vdots r_{k}$. Продолжая подобные рассуждения и передвигаясь по цепочке, получаем, что $f_{1} \vdots r_{k} $, $f_{0} \vdots r_{k} $. Таким образом, $r_{k} (x)$ является общим делителем полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

Пусть $d(x)$ {{---}} произвольный общий делитель указанных полиномов. В силу первого равенства цепочки $f_{0} =f_{1} q_{1} +r_{1}$ остаток от деления $r_{1} (x)$ делится нацело на полином $d(x)$. Тогда из второго равенства $f_{1} =r_{1} q_{2} +r_{2} $ следует, что $r_{2} \vdots d$. Рассуждая аналогично и перебирая последовательно все равенства, в итоге имеем $r_{k} \vdots d$. В силу произвольности $d(x)$ и в соответствии с определением НОД получаем, что $r_{k} (x)$ {{---}}  наибольший общий делитель полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$.

{{Теорема
|statement=Если $d(x)$ {{---}}  это наибольший общий делитель полиномов $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$, то существуют такие полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, что
$d(x) = u_{0} (x)f_{0} (x)+u_{1} (x)f_{1} (x)$.  
|proof=В соответствии с алгоритмом Евклида $d(x)=r_{k} (x)$. Но $r_{k} =r_{k-2} -r_{k-1} q_{k} =a_{1}^{(k-2)} r_{k-2} +a_{2}^{(k-1)} r_{k-1}$, где $a_{1}^{(k-2)} =1$, $a_{2}^{(k-1)} =-q_{k} $. 

Из алгоритма Евклида следует, что $r_{k-1} =r_{k-3} -r_{k-2} q_{k-1}$. Поэтому, подставляя в выражение для $r_{k}$, получаем $r_{k} =a_{1}^{(k-2)} r_{k-2} +a_{2}^{(k-1)} [r_{k-3} -r_{k-2} q_{k-1} ]= a_{1}^{(k-3)} r_{k-3} +a_{2}^{(k-2)} r_{k-2} $, где $a_{1}^{(k-3)} =a_{2}^{(k-1)} $, $a_{2}^{(k-2)} =a_{1}^{(k-2)} -a_{2}^{(k-1)} q_{k-1} $. 

Далее заменяем $r_{k-2} $ и т.д. В итоге будем иметь, что $r_{k} =a_{1}^{(1)} r_{1} +a_{2}^{(2)} r_{2} $. Но $r_{1} =f_{0} -f_{1} q_{1} $, а $r_{2} =f_{1} -r_{1} q_{2} =f_{1} -(f_{0} -f_{1} q_{1} )q_{2} $. 

Поэтому окончательно имеем
$r_{k} =a_{1}^{(1)} (f_{0} -f_{1} q_{1} )+a_{2}^{(2)} [f_{1} -(f_{0} -f_{1} q_{1} )q_{2} ]=u_{0} f_{0} +u_{1} f_{1},$ 
где $u_{0} =a_{1}^{(1)} -a_{2}^{(2)} q_{2} $, $u_{1} =-a_{1}^{(1)} q_{1} +a_{2}^{(2)} (1+q_{1} q_{2} )$.
}}

{{Следствие
|statement=Полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, для которых
$u_{0}(x) f_{0}(x) + u_{1}(x) f_{1}(x) = 1$.  
}}

{{Следствие
|statement=Если полином $f_{0} (x)$ взаимно прост с каждым из полиномов $f_{1} (x)$ и $f_{2} (x)$, то он взаимно прост и с их произведением $f_{1} (x)f_{2} (x)$.
|proof= Так как $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ взаимно просты, то существуют такие полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, что справедливо $u_{0} (x)f_{0} (x)+u_{1} (x)f_{1} (x)=1$. Умножим обе части последнего соотношения на $f_{2} (x)$, получаем $[u_{0} (x)f_{2} (x)]f_{0} (x)+u_{1} (x)[f_{1} (x)f_{2} (x)]=f_{2} (x)$. Если предположить, что полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)f_{2} (x)$ имеют общий делитель положительной степени, то он должен быть делителем и полинома $f_{2} (x)$. Но по условию $f_{0} (x)$ взаимно прост с $f_{2} (x)$, следовательно, полином $f_{0} (x)$ и произведение $f_{1} (x)f_{2} (x)$ являются взаимно простыми полиномами.
}}

{{Следствие
|statement=Если произведение $f_{1} (x)f_{2} (x)$ делится нацело на полином $f_{0} (x)$, причем $f_{1} (x)$ и $f_{0} (x)$ являются взаимно простыми, то $f_{2} \vdots f_{0} $.
|proof= Поскольку $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ взаимно просты, то существуют такие полиномы $u_{0} (x)$ и $u_{1} (x)$, что справедливо $u_{0} (x)f_{0} (x)+u_{1} (x)f_{1} (x)=1$. Умножим обе части соотношения на $f_{2} (x)$, получаем $[u_{0} (x)f_{2} (x)]f_{0} (x)+u_{1} (x)[f_{1} (x)f_{2} (x)]=f_{2} (x)$. Левая часть последнего равенства, очевидно, делится нацело на $f_{0} (x)$. Следовательно, должна делиться нацело и правая часть, т. е. $f_{2} \vdots f_{0}$.
}}</text>
    <sha1>a4c55401021fca6550f6551c1662d3d505fc09c0</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Языки программирования</title>
  <ns>0</ns>
  <id>60</id>
  <revision>
    <id>178</id>
    <timestamp>2022-10-29T17:58:31Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «* [[Генеалогическое древо языков программирования]]»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="93" xml:space="preserve">* [[Генеалогическое древо языков программирования]]</text>
    <sha1>a94dca7d9cd64fc4d0948cd8c1bf1e3299f85149</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Генеалогическое древо языков программирования</title>
  <ns>0</ns>
  <id>61</id>
  <revision>
    <id>179</id>
    <timestamp>2022-10-29T19:25:21Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «&lt;graphviz&gt; digraph languages {    node [fontsize=10, shape = plaintext];   1957-&gt;1958;   1958-&gt;1959;   1959-&gt;1960;   1960-&gt;1961;   1961-&gt;1962;   1962-&gt;1963;   196...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3635" xml:space="preserve">&lt;graphviz&gt;
digraph languages { 
  node [fontsize=10, shape = plaintext];
  1957-&gt;1958;
  1958-&gt;1959;
  1959-&gt;1960;
  1960-&gt;1961;
  1961-&gt;1962;
  1962-&gt;1963;
  1963-&gt;1964;
  1964-&gt;1965;
  1965-&gt;1966;
  1966-&gt;1967;
  1967-&gt;1968;
  1968-&gt;1969;
  1969-&gt;1970;
  1970-&gt;1971;
  1971-&gt;1972;
  1972-&gt;1973;
  1973-&gt;1974;
  1974-&gt;1975;
  1975-&gt;1976;
  1976-&gt;1977;
  1977-&gt;1978;
  1978-&gt;1979;
  1979-&gt;1980;
  1980-&gt;1981;
  1981-&gt;1982;
  1982-&gt;1983;
  1983-&gt;1984;
  1984-&gt;1985;
  1985-&gt;1986;
  1986-&gt;1987;
  1987-&gt;1988;
  1988-&gt;1989;
  1989-&gt;1990;
  1990-&gt;1991;
  1991-&gt;1992;
  1992-&gt;1993;
  1993-&gt;1994;
  1994-&gt;1995;
  1995-&gt;1996;
  1996-&gt;1997;
  1997-&gt;1998;
  1998-&gt;1999;
  1999-&gt;2000;
  2000-&gt;2001;
  2001-&gt;future;

node [fontsize=10, shape = plaintext];
"Fortran I";
"FLOW-MATIC";
"Fortran II";
"ALGOL 58";
LISP;
"ALGOL 60";
APL;
COBOL;
"Fortran IV";
CPL;
"SIMULA I";
SNOBOL;
BASIC;
"PL/I";
"ALGOL W";
"SIMULA 67";
"ALGOL 68";
"BCPL";
B;
Pascal;
C;
Prolog;
Scheme;
"MODULA-2";
"Fortran 77";
awk;
ML;
"Smalltalk 80"
ICON;
"Ada 83";
Miranda;
"COMMON LISP";
"Objective-C";
"C++";
Perl;
"MODULA-3";
Oberon;
QuickBASIC;
Haskell;
"ANSI C (C89)";
"Fortran 90";
Eiffel;
"Visual BASIC";
Python;
Lua;
PHP;
Java;
Ruby;
"Fortran 95";
"Ada 95";
Javascript;
C99;
"C#";
"Python 2.0";
"Visual Basic.NET";

{ rank=same; 1957 "Fortran I" "FLOW-MATIC";}
{ rank=same; 1958 "Fortran II" "ALGOL 58";}
{ rank=same; 1959 LISP;}
{ rank=same; 1960 "ALGOL 60" APL COBOL;}
{ rank=same; 1962 "Fortran IV" CPL;}
{ rank=same; 1963 "SIMULA I" SNOBOL;}
{ rank=same; 1964 BASIC "PL/I";}
{ rank=same; 1966 "ALGOL W";}
{ rank=same; 1967 "SIMULA 67";}
{ rank=same; 1968 "ALGOL 68";}
{ rank=same; 1969 "BCPL";}
{ rank=same; 1970 B;}
{ rank=same; 1971 Pascal C;}
{ rank=same; 1973 Prolog;}
{ rank=same; 1975 Scheme;}
{ rank=same; 1977 "MODULA-2";}
{ rank=same; 1978 "Fortran 77" awk ML;}
{ rank=same; 1980 "Smalltalk 80";}
{ rank=same; 1982 ICON;}
{ rank=same; 1983 "Ada 83" Miranda;}
{ rank=same; 1984 "COMMON LISP" "Objective-C";}
{ rank=same; 1985 "C++";}
{ rank=same; 1986 Perl;}
{ rank=same; 1987 "MODULA-3";}
{ rank=same; 1988 Oberon QuickBASIC Haskell;}
{ rank=same; 1989 "ANSI C (C89)";}
{ rank=same; 1990 "Fortran 90" Eiffel "Visual BASIC";}
{ rank=same; 1991 Python;}
{ rank=same; 1994 Lua PHP Java;}
{ rank=same; 1995 "Fortran 95" "Ada 95" Ruby;}
{ rank=same; 1997 Javascript;}
{ rank=same; 1999 C99;}
{ rank=same; 2000 "C#" "Python 2.0";}
{ rank=same; 2001 "Visual Basic.NET";}

"Fortran I"-&gt;"Fortran II";
"Fortran I"-&gt;"ALGOL 58";
"ALGOL 58"-&gt;"ALGOL 60";
"FLOW-MATIC"-&gt;COBOL;
"Fortran II"-&gt;"Fortran IV";
"ALGOL 60"-&gt;"SIMULA I";
"Fortran IV"-&gt;BASIC;
"ALGOL 60"-&gt;BASIC;
"ALGOL 60"-&gt;"PL/I";
COBOL-&gt;"PL/I";
"ALGOL 60"-&gt;"ALGOL W";
"SIMULA I"-&gt;"SIMULA 67";
"ALGOL 60"-&gt;"ALGOL 68";
CPL-&gt;"BCPL";
"BCPL"-&gt;B;
B-&gt;C;
"ALGOL 68"-&gt;C;
LISP-&gt;Scheme;
Pascal-&gt;"MODULA-2";
"Fortran IV"-&gt;"Fortran 77";
SNOBOL-&gt;awk;
Pascal-&gt;ML;
LISP-&gt;ML;
"SIMULA 67"-&gt;"Smalltalk 80";
SNOBOL-&gt;ICON;
Pascal-&gt;"Ada 83";
ML-&gt;Miranda;
Scheme-&gt;"COMMON LISP";
"Smalltalk 80"-&gt;"Objective-C";
C-&gt;"Objective-C";
C-&gt;"C++";
"SIMULA 67"-&gt;"C++";
awk-&gt;Perl;
"MODULA-2"-&gt;"MODULA-3";
"MODULA-2"-&gt;Oberon;
BASIC-&gt;QuickBASIC;
"COMMON LISP"-&gt;Haskell;
C-&gt;"ANSI C (C89)";
"C++"-&gt;"ANSI C (C89)";
"Fortran 77"-&gt;"Fortran 90";
"Ada 83"-&gt;Eiffel;
"SIMULA 67"-&gt;Eiffel;
QuickBASIC-&gt;"Visual BASIC";
"ANSI C (C89)"-&gt;Python;
"MODULA-3"-&gt;Python;
Perl-&gt;PHP;
"C++"-&gt;Java;
"Fortran 90"-&gt;"Fortran 95";
"Ada 83"-&gt;"Ada 95";
"Smalltalk 80"-&gt;Ruby;
Perl-&gt;Ruby;
Perl-&gt;Javascript;
"ANSI C (C89)"-&gt;C99;
Java-&gt;"C#";
"C++"-&gt;"C#";
Python-&gt;"Python 2.0";
"Visual BASIC"-&gt;"Visual Basic.NET";

edge [style=invis];
1973-&gt;Prolog;
1960-&gt;APL;
1994-&gt;Lua;

}
&lt;/graphviz&gt;</text>
    <sha1>c6b3470d60683a03fbeaa22621fe92d024103add</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Представление линии в квадратном растре</title>
  <ns>0</ns>
  <id>62</id>
  <revision>
    <id>180</id>
    <timestamp>2022-10-30T21:01:52Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «== Алгоритм Брезенхема == Алгоритм Брезенхема - алгоритм, который позволяет построить пря...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3851" xml:space="preserve">== Алгоритм Брезенхема ==
Алгоритм Брезенхема - алгоритм, который позволяет построить прямую на мониторе, независимо от угла наклона прямой. Это эффективный метод, поскольку он включает в себя только целочисленные операции сложения, вычитания и умножения. 


== Алгоритм ==
Мы работаем с отрезками(экран компьютера не может быть бесконечным). 
По условию нам даны начало и конец отрезка. Угол поворота отрезка может быть любым. Обозначим его за &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;. 
Давайте рассмотрим случай, где &lt;math&gt;\alpha = \frac{\pi}{4}&lt;/math&gt;:&lt;br&gt;Закрасим первый пиксел. Если бы мы строили отрезок в реальной жизни, то он бы пересекал стенки клеток в разных местах. Будем опираться на этот факт и скажем, что если отрезок пересекает стенку клетки ниже середины, то мы остаемся на той же строке и закрашиваем соседнюю клетку(соседний пиксел). Если же отрезок пересекает стенку клетки выше половины, то сдвигаемся вправо, а потом вверх(т.е. по диагонали) и закрашиваем этот пиксел. &lt;br&gt;
Обозначим разность координаты конца и координаты начала по оси x - &lt;b&gt;dx&lt;/b&gt;. Соответственно по оси y - &lt;b&gt;dy&lt;/b&gt;

Так как мы работаем с углом &lt;math&gt;\alpha = 45^{\circ}&lt;/math&gt; заметим, что всегда должно выполняться условие &lt;b&gt;dx&lt;/b&gt; ≥ &lt;b&gt;dy&lt;/b&gt;. 
---- 
== Код ==
&lt;br&gt;1. Создаем переменные d, dx, dy, где
&lt;br&gt;&lt;b&gt;d&lt;/b&gt; - величина, которая показывает, где прямая пересекла пиксел.
&lt;br&gt;&lt;b&gt;x&lt;/b&gt; - координата первого пиксела по оси x.
&lt;br&gt;&lt;b&gt;y&lt;/b&gt; - координата первого пиксела по оси y.

&lt;br&gt;2. Заходим в цикл, в котором движемся по x до момента, пока не дойдем до конца отрезка. Мы предполагаем, что координата конца больше координаты начала по x. Если же наоборот, то можно поменять их местами.
&lt;br&gt;3. Закрашиваем нынешний пиксел.
&lt;br&gt;4. Изменяем величину d, чтобы показать пересечение стенки отрезком в данном пикселе. 
&lt;br&gt;4.1. Если у нас d ≥ 0, то увеличиваем y(то есть поднимаемся вверх).
&lt;br&gt;5. Инкрементируем x, чтобы перейти вправо.  
&lt;code&gt;
 d = 2*dy-dx;
 x = x1; y = y1;
 do {
     PutPixel(x, y);
     if (d&lt;0)
         d += 2*dy;
     else{
         d += 2*(dy-dx);
         ++y;
     }
     ++x;
 } while(x&lt;=x2);&lt;/code&gt;

== Важно ==
&lt;br&gt;Если угол наклона более 45, то dx ≤ dy, следовательно, алгоритм "разворачивается" и мы начинаем идти не по x, а по y. В коде переменные поменяются местами.
&lt;br&gt;Если угол наклона отрицательный, то мы идем не вверх(++y), а вниз(--y).</text>
    <sha1>1fdad10c289260b3170b03bef533e2595eaf8a56</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>181</id>
    <parentid>180</parentid>
    <timestamp>2022-10-31T14:56:56Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Nadya.cats</username>
      <id>6</id>
    </contributor>
    <comment>/* Алгоритм */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3842" xml:space="preserve">== Алгоритм Брезенхема ==
Алгоритм Брезенхема - алгоритм, который позволяет построить прямую на мониторе, независимо от угла наклона прямой. Это эффективный метод, поскольку он включает в себя только целочисленные операции сложения, вычитания и умножения. 


== Алгоритм ==
Мы работаем с отрезками(экран компьютера не может быть бесконечным). 
По условию нам даны начало и конец отрезка. Угол его поворота может быть любым. Обозначим за &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;. 
Давайте рассмотрим случай, где &lt;math&gt;\alpha = \frac{\pi}{4}&lt;/math&gt;:&lt;br&gt;Закрасим первый пиксель. Если бы мы строили отрезок в реальной жизни, то он бы пересекал стенки клеток в разных местах. Будем опираться на этот факт и скажем, что если отрезок пересекает стенку клетки ниже середины, то мы остаемся на той же строке и закрашиваем соседнюю клетку(соседний пиксель). Если же отрезок пересекает стенку клетки выше половины, то сдвигаемся вправо, а потом вверх(т.е. по диагонали) и закрашиваем этот пиксель. &lt;br&gt;
Обозначим разность координаты конца и координаты начала по оси x - &lt;b&gt;dx&lt;/b&gt;. Соответственно по оси y - &lt;b&gt;dy&lt;/b&gt;

Так как мы работаем с углом &lt;math&gt;\alpha = 45^{\circ}&lt;/math&gt; заметим, что всегда должно выполняться условие &lt;b&gt;dx&lt;/b&gt; ≥ &lt;b&gt;dy&lt;/b&gt;. 
----

== Код ==
&lt;br&gt;1. Создаем переменные d, dx, dy, где
&lt;br&gt;&lt;b&gt;d&lt;/b&gt; - величина, которая показывает, где прямая пересекла пиксел.
&lt;br&gt;&lt;b&gt;x&lt;/b&gt; - координата первого пиксела по оси x.
&lt;br&gt;&lt;b&gt;y&lt;/b&gt; - координата первого пиксела по оси y.

&lt;br&gt;2. Заходим в цикл, в котором движемся по x до момента, пока не дойдем до конца отрезка. Мы предполагаем, что координата конца больше координаты начала по x. Если же наоборот, то можно поменять их местами.
&lt;br&gt;3. Закрашиваем нынешний пиксел.
&lt;br&gt;4. Изменяем величину d, чтобы показать пересечение стенки отрезком в данном пикселе. 
&lt;br&gt;4.1. Если у нас d ≥ 0, то увеличиваем y(то есть поднимаемся вверх).
&lt;br&gt;5. Инкрементируем x, чтобы перейти вправо.  
&lt;code&gt;
 d = 2*dy-dx;
 x = x1; y = y1;
 do {
     PutPixel(x, y);
     if (d&lt;0)
         d += 2*dy;
     else{
         d += 2*(dy-dx);
         ++y;
     }
     ++x;
 } while(x&lt;=x2);&lt;/code&gt;

== Важно ==
&lt;br&gt;Если угол наклона более 45, то dx ≤ dy, следовательно, алгоритм "разворачивается" и мы начинаем идти не по x, а по y. В коде переменные поменяются местами.
&lt;br&gt;Если угол наклона отрицательный, то мы идем не вверх(++y), а вниз(--y).</text>
    <sha1>c64810b08f4b7314b89ffd86a1774f8c5b98a0bf</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>182</id>
    <parentid>181</parentid>
    <timestamp>2022-10-31T19:26:49Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Nadya.cats</username>
      <id>6</id>
    </contributor>
    <comment>/* Код */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3844" xml:space="preserve">== Алгоритм Брезенхема ==
Алгоритм Брезенхема - алгоритм, который позволяет построить прямую на мониторе, независимо от угла наклона прямой. Это эффективный метод, поскольку он включает в себя только целочисленные операции сложения, вычитания и умножения. 


== Алгоритм ==
Мы работаем с отрезками(экран компьютера не может быть бесконечным). 
По условию нам даны начало и конец отрезка. Угол его поворота может быть любым. Обозначим за &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;. 
Давайте рассмотрим случай, где &lt;math&gt;\alpha = \frac{\pi}{4}&lt;/math&gt;:&lt;br&gt;Закрасим первый пиксель. Если бы мы строили отрезок в реальной жизни, то он бы пересекал стенки клеток в разных местах. Будем опираться на этот факт и скажем, что если отрезок пересекает стенку клетки ниже середины, то мы остаемся на той же строке и закрашиваем соседнюю клетку(соседний пиксель). Если же отрезок пересекает стенку клетки выше половины, то сдвигаемся вправо, а потом вверх(т.е. по диагонали) и закрашиваем этот пиксель. &lt;br&gt;
Обозначим разность координаты конца и координаты начала по оси x - &lt;b&gt;dx&lt;/b&gt;. Соответственно по оси y - &lt;b&gt;dy&lt;/b&gt;

Так как мы работаем с углом &lt;math&gt;\alpha = 45^{\circ}&lt;/math&gt; заметим, что всегда должно выполняться условие &lt;b&gt;dx&lt;/b&gt; ≥ &lt;b&gt;dy&lt;/b&gt;. 
----

== Код ==
&lt;br&gt;1. Создаем переменные d, dx, dy, где
&lt;br&gt;&lt;b&gt;d&lt;/b&gt; - величина, которая показывает, где прямая пересекла пиксель.
&lt;br&gt;&lt;b&gt;x&lt;/b&gt; - координата первого пикселя по оси x.
&lt;br&gt;&lt;b&gt;y&lt;/b&gt; - координата первого пикселя по оси y.

&lt;br&gt;2. Заходим в цикл, в котором движемся по x до момента, пока не дойдем до конца отрезка. Мы предполагаем, что координата конца больше координаты начала по x. Если же наоборот, то можно поменять их местами.
&lt;br&gt;3. Закрашиваем текущий пиксель.
&lt;br&gt;4. Изменяем величину d, чтобы показать пересечение стенки отрезком в данном пикселе. 
&lt;br&gt;4.1. Если у нас d ≥ 0, то увеличиваем y(то есть поднимаемся вверх).
&lt;br&gt;5. Инкрементируем x, чтобы перейти вправо.  
&lt;code&gt;
 d = 2*dy-dx;
 x = x1; y = y1;
 do {
     PutPixel(x, y);
     if (d&lt;0)
         d += 2*dy;
     else{
         d += 2*(dy-dx);
         ++y;
     }
     ++x;
 } while(x&lt;=x2);&lt;/code&gt;

== Важно ==
&lt;br&gt;Если угол наклона более 45, то dx ≤ dy, следовательно, алгоритм "разворачивается" и мы начинаем идти не по x, а по y. В коде переменные поменяются местами.
&lt;br&gt;Если угол наклона отрицательный, то мы идем не вверх(++y), а вниз(--y).</text>
    <sha1>2e4b524d92cbe240f19222d37b46d8389ff329ce</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Файл:Модифицированное заполнение.jpg</title>
  <ns>6</ns>
  <id>63</id>
  <revision>
    <id>183</id>
    <timestamp>2022-12-03T17:57:19Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="84" xml:space="preserve">Поэтапно представлены способы заливки фигуры</text>
    <sha1>86d5b9d469058a6bd2b280382aad2c2741eb7c36</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Файл:Алгос заливки.jpg</title>
  <ns>6</ns>
  <id>64</id>
  <revision>
    <id>184</id>
    <timestamp>2022-12-03T17:59:44Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="71" xml:space="preserve">блок-схема алгоритма и поэтапный обход</text>
    <sha1>f91fc5679d5b7d6ffb82a4e1d074d2002756d964</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Файл:Снимок экрана (106).png</title>
  <ns>6</ns>
  <id>65</id>
  <revision>
    <id>185</id>
    <timestamp>2022-12-03T18:03:09Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="9" xml:space="preserve">то же</text>
    <sha1>43b0f8c1db8682b5e9ad14dfd721f38a3f59580f</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Заливка области с затравкой</title>
  <ns>0</ns>
  <id>66</id>
  <revision>
    <id>186</id>
    <timestamp>2022-12-03T18:15:24Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>StudentL</username>
      <id>5</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «== Основы == Алгоритм применим, когда область, подлежащая заливке, не является многоугольн...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4162" xml:space="preserve">== Основы ==
Алгоритм применим, когда область, подлежащая заливке, не является многоугольником. Множество пикселей на растре не задает область однозначно, поэтому требуется задать координаты "затравочного" пикселя, принадлежащего области.
При данном способе заливки тем или иным способом выбирается произвольная точка, являющаяся заведомо внутренней для заданной  области. Эта точка закрашивается. Закрашиваются также все ее не закрашенные соседи по заданному критерию связности и их адреса записываются в стек. Далее из стека извлекается адрес очередной точки и с ней поступают точно так же, как с предыдущей. Процедура повторяется до тех пор, пока в стеке будет находиться адрес хотя бы одной точки.

== Пример простого алгоритма ==
Простейший алгоритм заполнения с затравкой - это так называемый алгоритм короеда, получивший подобное название, поскольку заполняемая область последовательно "выедается" по одному пикселю.
При обходе соседних пикселей может рассматриваться и 4-связность , и 8-связность. В зависимости от этого результат будет различным.
[[Файл:Алгос заливки.jpg|без рамки|центр]]

== Модифицированный алгоритм ==
Простой алгоритм выше можно модифицировать, вместо того что бы на каждой итерации закрашивать один пиксель, закрашивать линию. Для этого используется пространственная когерентность:
* пиксели в строке меняются только на границах
* при перемещении к следующей строке размер заливаемой строки скорее всего или неизменен, или меняется на 1 пиксель
Таким образом, на каждый закрашиваемый фрагмент строки в стеке хранятся координаты только одного начального пикселя, что приводит к существенному уменьшению размера стека.[[Файл:Модифицированное заполнение.jpg|мини]]
Последовательность работы алгоритма следующая:
# Координата затравки помещается в стек, затем до исчерпания стека выполняются пункты 2-4
# Координата очередной затравки извлекается из стека и выполняется максимально возможное закрашивание вправо и влево по строке с затравкой, т.е. пока не попадется граничный пиксель. Пусть это ХLeft и ХRight, соответственно.
# Анализируется строка ниже закрашиваемой в пределах от ХLeft до ХRight и в ней находятся крайние правые пиксель всех не закрашенных фрагментов. Их координаты заносятся в стек
# То же самое проделывается для строки выше закрашиваемой</text>
    <sha1>1114d5803d0104678b94bf4c8e86e7b510ccf6c5</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Преобразования камеры</title>
  <ns>0</ns>
  <id>67</id>
  <revision>
    <id>187</id>
    <timestamp>2023-01-04T21:01:49Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Nadya.cats</username>
      <id>6</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «==Полезные источники== [https://www.youtube.com/watch?v=mpTl003EXCY Лекция про camera tranform] - на английском»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="149" xml:space="preserve">==Полезные источники==
[https://www.youtube.com/watch?v=mpTl003EXCY Лекция про camera tranform] - на английском</text>
    <sha1>99aa0f1aecb6fe688cf154f4dc09eba9ac58c672</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Кватернионы. Ориентация. Вращение.</title>
  <ns>0</ns>
  <id>68</id>
  <revision>
    <id>188</id>
    <timestamp>2023-01-05T17:26:44Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Nadya.cats</username>
      <id>6</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «==Полезные ссылки== [https://www.youtube.com/watch?v=mHVwd8gYLnI&amp;list=PL_w_qWAQZtAZhtzPI5pkAtcUVgmzdAP8g&amp;index=9 Кватернионы. Враще...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="197" xml:space="preserve">==Полезные ссылки==
[https://www.youtube.com/watch?v=mHVwd8gYLnI&amp;list=PL_w_qWAQZtAZhtzPI5pkAtcUVgmzdAP8g&amp;index=9 Кватернионы. Вращение.] - на английском</text>
    <sha1>28420c40dd9b32a38220ecb0aac78b3ddf76a8be</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>189</id>
    <parentid>188</parentid>
    <timestamp>2023-01-06T12:46:15Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="809" xml:space="preserve">==Полезные ссылки==
[https://www.youtube.com/watch?v=mHVwd8gYLnI&amp;list=PL_w_qWAQZtAZhtzPI5pkAtcUVgmzdAP8g&amp;index=9 Кватернионы. Вращение.] - на английском

Серия коротких видео на русском с подробным объяснением
[https://www.youtube.com/watch?v=oxHWg3QWnoc&amp;t=44s Введение в кватернионы]
[https://www.youtube.com/watch?v=PSot9aPD1Js Определение квантериона]
[https://www.youtube.com/watch?v=ygtrsOWdCtI&amp;t=881s Умножение и деление кватернионов]
[https://www.youtube.com/watch?v=uu3au3aDdZk&amp;t=1s Как задавать вращение пространства]
[https://www.youtube.com/watch?v=2hoS5ztgcXY Свойства квантерионов]</text>
    <sha1>b3db0c9ea316db044dae8ece562115530329824e</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>190</id>
    <parentid>189</parentid>
    <timestamp>2023-01-06T12:47:00Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>T.o.r.t.i.k1</username>
      <id>4</id>
    </contributor>
    <comment>/* Полезные ссылки */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="834" xml:space="preserve">==Полезные ссылки==
[https://www.youtube.com/watch?v=mHVwd8gYLnI&amp;list=PL_w_qWAQZtAZhtzPI5pkAtcUVgmzdAP8g&amp;index=9 Кватернионы. Вращение.] - на английском

Серия коротких видео на русском с подробным объяснением:&lt;br&gt;
[https://www.youtube.com/watch?v=oxHWg3QWnoc&amp;t=44s Введение в кватернионы]&lt;br&gt;
[https://www.youtube.com/watch?v=PSot9aPD1Js Определение квантериона]&lt;br&gt;
[https://www.youtube.com/watch?v=ygtrsOWdCtI&amp;t=881s Умножение и деление кватернионов]&lt;br&gt;
[https://www.youtube.com/watch?v=uu3au3aDdZk&amp;t=1s Как задавать вращение пространства]&lt;br&gt;
[https://www.youtube.com/watch?v=2hoS5ztgcXY Свойства квантерионов]&lt;br&gt;</text>
    <sha1>cb8033f3c2a849724eb9145cb6212b80bcd089d5</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Перестановки</title>
  <ns>0</ns>
  <id>69</id>
  <revision>
    <id>191</id>
    <timestamp>2024-11-26T09:36:09Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «Пусть $a=\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$ последовательность натуральных чисел, а $b=\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$ {{---}}  после...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="7857" xml:space="preserve">Пусть $a=\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$ последовательность натуральных чисел, а $b=\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$ {{---}}  последовательность тех же чисел, но взятых в другом (том же) порядке.

{{Определение 
|definition=Последовательность $b$ называется перестановкой последовательности $a$.
}}

{{Лемма
|statement=Число различных перестановок последовательности a равно $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$.
|proof= Так как среди чисел $j_{1}, j_2, ..., j_n$ нет одинаковых, то в качестве первого числа $j_{1}$ можно взять любое из чисел от 1 до $n$. Поэтому имеем ровно $n$ вариантов выбора. В качестве второго числа $j_2$ можно взять любое из $n-1$ оставшихся, то есть имеем $n-1$ вариантов выбора. Таким образом, получаем $n(n-1)$ различных способов выбора первых двух элементов. Продолжая аналогичные рассуждения, убеждаемся, что число различных перестановок из $n$ чисел равно $n!$.
}}

{{Определение 
|definition=Будем говорить, что пара элементов $(j_{k}, j_{m})$, $k&amp;lt;m$, перестановки $b$ образует инверсию, если $j_{k} &amp;gt; j_{m}$. Число всех пар перестановки $b$, образующих инверсию, называется числом инверсий в $b$ и обозначается $inv\{b\}$.
}}

{{Определение 
|definition=Перестановка, содержащая четное число инверсий, называется четной, а нечетное число {{---}} нечетной.
}}

{{Определение 
|definition=Если в некоторой перестановке $j$-й и $k$-й элементы поменять местами, оставив без изменения положение остальных $n-2$ элементов, то такая операция называется транспозицией и обозначается $(j, k)$.
}}

{{Теорема
|statement=Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Полученная перестановка приводится к исходной в результате нечетного числа транспозиций соседних элементов.
|proof= Пусть дана некоторая перестановка $\{j_{1}, ..., j_{k}, ..., j_{s}, ..., j_n\}$. Допустим, что в результате транспозиции $(k, s)$ элементы $j_{k}$ и $j_{s}$ поменялись местами. Число элементов между ними равно $s-k-1$. Меняем местами $j_{k+1}$ и $j_{s}$, затем $j_{k+2}$ и $j_{s}$ и так далее После $s-k-1$ транспозиций получаем перестановку $\{ j_{1}, ..., j_{k-1}, j_{k+1}, ..., j_{s}, j_{k}, j_{s+1}, ..., j_n \} $. Меняем теперь местами $j_{k}$ и $j_{s}$, потом $j_{k}$ и $j_{s-1}$ и так далее В результате $s-k$ транспозиций приходим к исходной перестановке. Всего совершено нечетное число $2(s-k)-1$ транспозиций соседних элементов.
}}

{{Теорема
|statement=При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на единицу.
|proof= Допустим, что в перестановке $a=\{ j_{1}, ..., j_{k}, j_{k+1}, ..., j_n \} $ сделана транспозиция $(k, k+1)$, получаем $b=\{ j_{1}, ..., j_{k+1}, j_{k}, ..., j_n \}$. Понятно, что число инверсий в перестановках, не содержащих элементы $j_{k}$ и $j_{k+1}$, совпадают. Больше того, если из перестановок $a$ и $b$ исключить один из этих элементов, то число инверсий в оставшихся перестановках также будут совпадать, поскольку каждый из них не меняет своего положения относительно других элементов. Тогда становится очевидным, что если $j_{k} &gt;j_{k+1} $, то $inv \{a\} = inv \{b\} + 1$, тогда как в случае $j_{k} &lt;j_{k+1} $ имеем $inv \{b\}  = inv \{a\} + 1$.
}}

{{Следствие
|statement=При транспозиции соседних элементов четная перестановка становится нечетной, а нечетная {{---}}  четной.
}}

{{Следствие
|statement=Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
}}

{{Теорема
|statement=Число четных перестановок всегда совпадает с числом нечетных.
|proof= Допустим, что число четных перестановок равно $p$, а число нечетных $q$. Если во всех четных перестановках сделать транспозицию $(1, 2)$, то получим $p$ нечетных перестановок, следовательно, $p\le q$. С другой стороны, если во всех нечетных перестановках также произвести транспозицию $(1, 2)$, то получаем $q$ четных. Но по условию всего их было $p$, поэтому $q\le p$. Отсюда следует, что $p=q$.
}}

{{Теорема
|statement=Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.
|proof= Доказательство проведем методом математической индукции. Если $n=2$, то утверждение очевидно. Пусть теорема доказана для случая, когда в перестановке $n-1$ элементов. Докажем утверждение, когда элементов $n$.

Рассмотрим две произвольные перестановки $a=\{\alpha_{1}, \alpha_2, ..., \alpha_n\} $ и $b=\{\beta_{1}, \beta_2, ..., \beta_n\}$. Если $\alpha_{1} =\beta_{1}$, то поскольку перестановки $\{ \alpha_2, \alpha_3, ..., \alpha_n \} $ и $\{ \beta_2, \beta_3, ..., \beta_n \} $ содержат $n-1$ элементов, то в соответствии  с индукционным предположением посредством нескольких транспозиций одна из них приводится к другой.

Пусть $\alpha_{1} \ne \beta_{1}$, но, понятно, что существует такой элемент $\beta_{j}$, что $\alpha_{1} =\beta_{j} $. Если сделать транспозицию $(1, j)$ в $b$, то получаем перестановку, в которой первый элемент совпадает с первым элементом $a$. Таким образом, приходим к уже рассмотренному случаю.
}}</text>
    <sha1>f073bb2690473ed367b653037addcbaae9eb0627</sha1>
  </revision>
  <revision>
    <id>192</id>
    <parentid>191</parentid>
    <timestamp>2024-11-26T09:36:46Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="7846" xml:space="preserve">Пусть $a=\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$ последовательность натуральных чисел, а $b=\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$ {{---}}  последовательность тех же чисел, но взятых в другом (том же) порядке.
{{Определение 
|definition=Последовательность $b$ называется перестановкой последовательности $a$.
}}
{{Лемма
|statement=Число различных перестановок последовательности a равно $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$.
|proof= Так как среди чисел $j_{1}, j_2, ..., j_n$ нет одинаковых, то в качестве первого числа $j_{1}$ можно взять любое из чисел от 1 до $n$. Поэтому имеем ровно $n$ вариантов выбора. В качестве второго числа $j_2$ можно взять любое из $n-1$ оставшихся, то есть имеем $n-1$ вариантов выбора. Таким образом, получаем $n(n-1)$ различных способов выбора первых двух элементов. Продолжая аналогичные рассуждения, убеждаемся, что число различных перестановок из $n$ чисел равно $n!$.
}}
{{Определение 
|definition=Будем говорить, что пара элементов $(j_{k}, j_{m})$, $k&amp;lt;m$, перестановки $b$ образует инверсию, если $j_{k} &amp;gt; j_{m}$. Число всех пар перестановки $b$, образующих инверсию, называется числом инверсий в $b$ и обозначается $inv\{b\}$.
}}
{{Определение 
|definition=Перестановка, содержащая четное число инверсий, называется четной, а нечетное число {{---}} нечетной.
}}
{{Определение 
|definition=Если в некоторой перестановке $j$-й и $k$-й элементы поменять местами, оставив без изменения положение остальных $n-2$ элементов, то такая операция называется транспозицией и обозначается $(j, k)$.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Полученная перестановка приводится к исходной в результате нечетного числа транспозиций соседних элементов.
|proof= Пусть дана некоторая перестановка $\{j_{1}, ..., j_{k}, ..., j_{s}, ..., j_n\}$. Допустим, что в результате транспозиции $(k, s)$ элементы $j_{k}$ и $j_{s}$ поменялись местами. Число элементов между ними равно $s-k-1$. Меняем местами $j_{k+1}$ и $j_{s}$, затем $j_{k+2}$ и $j_{s}$ и так далее После $s-k-1$ транспозиций получаем перестановку $\{ j_{1}, ..., j_{k-1}, j_{k+1}, ..., j_{s}, j_{k}, j_{s+1}, ..., j_n \} $. Меняем теперь местами $j_{k}$ и $j_{s}$, потом $j_{k}$ и $j_{s-1}$ и так далее В результате $s-k$ транспозиций приходим к исходной перестановке. Всего совершено нечетное число $2(s-k)-1$ транспозиций соседних элементов.
}}
{{Теорема
|statement=При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на единицу.
|proof= Допустим, что в перестановке $a=\{ j_{1}, ..., j_{k}, j_{k+1}, ..., j_n \} $ сделана транспозиция $(k, k+1)$, получаем $b=\{ j_{1}, ..., j_{k+1}, j_{k}, ..., j_n \}$. Понятно, что число инверсий в перестановках, не содержащих элементы $j_{k}$ и $j_{k+1}$, совпадают. Больше того, если из перестановок $a$ и $b$ исключить один из этих элементов, то число инверсий в оставшихся перестановках также будут совпадать, поскольку каждый из них не меняет своего положения относительно других элементов. Тогда становится очевидным, что если $j_{k} &gt;j_{k+1} $, то $inv \{a\} = inv \{b\} + 1$, тогда как в случае $j_{k} &lt;j_{k+1} $ имеем $inv \{b\}  = inv \{a\} + 1$.
}}
{{Следствие
|statement=При транспозиции соседних элементов четная перестановка становится нечетной, а нечетная {{---}}  четной.
}}
{{Следствие
|statement=Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
}}
{{Теорема
|statement=Число четных перестановок всегда совпадает с числом нечетных.
|proof= Допустим, что число четных перестановок равно $p$, а число нечетных $q$. Если во всех четных перестановках сделать транспозицию $(1, 2)$, то получим $p$ нечетных перестановок, следовательно, $p\le q$. С другой стороны, если во всех нечетных перестановках также произвести транспозицию $(1, 2)$, то получаем $q$ четных. Но по условию всего их было $p$, поэтому $q\le p$. Отсюда следует, что $p=q$.
}}
{{Теорема
|statement=Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.
|proof= Доказательство проведем методом математической индукции. Если $n=2$, то утверждение очевидно. Пусть теорема доказана для случая, когда в перестановке $n-1$ элементов. Докажем утверждение, когда элементов $n$.

Рассмотрим две произвольные перестановки $a=\{\alpha_{1}, \alpha_2, ..., \alpha_n\} $ и $b=\{\beta_{1}, \beta_2, ..., \beta_n\}$. Если $\alpha_{1} =\beta_{1}$, то поскольку перестановки $\{ \alpha_2, \alpha_3, ..., \alpha_n \} $ и $\{ \beta_2, \beta_3, ..., \beta_n \} $ содержат $n-1$ элементов, то в соответствии  с индукционным предположением посредством нескольких транспозиций одна из них приводится к другой.

Пусть $\alpha_{1} \ne \beta_{1}$, но, понятно, что существует такой элемент $\beta_{j}$, что $\alpha_{1} =\beta_{j} $. Если сделать транспозицию $(1, j)$ в $b$, то получаем перестановку, в которой первый элемент совпадает с первым элементом $a$. Таким образом, приходим к уже рассмотренному случаю.
}}</text>
    <sha1>0aceb33918bdab24a5c975d0f4c6e846f49fe542</sha1>
  </revision>
</page>
<page arvcontinue="20220706142422|159">
  <title>Ортогональные матрицы</title>
  <ns>0</ns>
  <id>70</id>
  <revision>
    <id>193</id>
    <timestamp>2024-11-26T09:54:24Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>St001214</username>
      <id>3</id>
    </contributor>
    <comment>Новая страница: «{{Определение |definition=Квадратная матрица $A$ с вещественными элементами называется ортого...»</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4670" xml:space="preserve">{{Определение
|definition=Квадратная матрица $A$ с вещественными элементами называется ортогональной, если ее обратная матрица совпадает с транспонированной, то есть $A^{-1} =A^{T} $. 
}}

Пусть произвольная квадратная матрица $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ является ортогональной. Соответствующая транспонированная матрица $A^{T} =\{ \delta_{jk} \}_{j,k=1}^{n,n}$, причем по определению $\delta_{jk} =\alpha_{kj} $. Вычислим произведение $AA^{T} =\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \delta_{jk}  \right\}_{i,k=1}^{n,n} = \left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \alpha_{kj}  \right\}_{i,k=1}^{n,n} $. Поскольку $A$ является ортогональной матрицей, то $AA^{T} =AA^{-1} =E$. Сравнивая поэлементно матрицы $AA^{T} $ и $E$, получаем, что если $i\ne k$, то $\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij} \alpha_{kj} = 0$, а в случае $i=k$, имеем $\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij}^{2} =1$.

Таким образом, у ортогональной матрицы сумма квадратов элементов одной строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк равна нулю. Если $a_{i} $ есть $i$-я строка матрицы $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$, то условие $AA^{T} =E$ эквивалентно соотношению $a_{i} a_{j}^{T} = \left[\begin{array}{l} {1,  i=j;} \\ {0,   i\ne j.} \end{array}\right. $ 
{{Определение
|definition=Строка матрицы $A$ называется нормированной, если $a_{i} a_{i}^{T} =1$.
}}
{{Определение
|definition=Две строки матрицы $A$ называются ортогональными, если $a_{i} a_{j}^{T} =0$.
}}
Таким образом, у ортогональной матрицы все строки нормированные и попарно ортогональные между собой.

По определению ортогональной матрицы $A^{-1} =A^{T}$, следовательно, $A^{T} A=E$. Поэтому, если $a^{i} $ {{---}} $i$-й столбец матрицы $A$, $i=\overline{1,n}$, то 
$\left(a^{i} \right)^{T} a^{j} =\left[\begin{array}{l} {1,  i=j;} \\ {0,   i\ne j.} \end{array}\right.$ 

Таким образом, у ортогональной матрицы все столбцы нормированные и попарно ортогональные между собой.

Очевидно, что если матрица $A$ ортогональная, то и транспонированная матрица $A^{T}$ также является ортогональной матрицей. 

Простейшим примером ортогональной матрицы служит единичная матрица $E$, так как $EE^{T} =E^{T} E=E$.
{{Теорема
|statement=Пусть $A$ {{---}}  ортогональная матрица. Тогда обратная матрица $A^{-1}$ являются ортогональной матрицей.
|proof= По условию матрица $A$ является ортогональной, следовательно, матрица $A^{T}$ {{---}}  ортогональная. По определению $A^{T} =A^{-1}$, поэтому $A^{-1}$ {{---}} ортогональная матрица.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть $A_1$, $A_2 $ {{---}}  ортогональные матрицы. Тогда ортогональной матрицей является произведение $A_1 A_2$. 
|proof= Рассмотрим произведение $A_1 A_2 \left(A_1 A_2 \right)^{T}$, имеем $A_1 A_2 (A_1 A_2)^{T} =A_1 A_2 A_2^{T} A_1^{T} =A_1 EA_1^{T} =A_1 A_1^{T} =E, $ поэтому $A_1 A_2 $ {{---}} ортогональная матрица.
}}
{{Теорема
|statement=Квадрат определителя ортогональной матрицы равен единице.
|proof= Пусть $A$ является ортогональной матрицей.
По определению ортогональной матрицы $AA^{T} = E$, то $\det \left(AA^{T} \right)=\det E$, отсюда $\det A\det A^{T} =1$, поэтому окончательно имеем $\left(\det A\right)^{2} =1$.
}}</text>
    <sha1>c98c0525f5a1540a45b60a4a621e680c9f2be63f</sha1>
  </revision>
</page>
</mediawiki>